lauten wie folgt:

Eindimensional: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}{u}{^{\prime} }(t)v(t)\,dt=u(x)v(x)-\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}u(t){v}{^{\prime} }(t)\,dt\end{eqnarray} für zwei stetig differenzierbare Funktionen u, v : j → ℝ auf einem geeigneten Intervall j in ℝ, was man direkt aus der Produktregel für die Differentiation abliest. Aus der o. a. Regel erhält man über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung die entsprechende Regel für das bestimmte Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}{^{\prime} }(t)v(t)\,dt=u(x)v(x){|}_{a}^{b}-\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){v}{^{\prime} }(t)\,dt\end{eqnarray} für zwei stetig differenzierbare Funktionen u, v : [a, b] → ℝ mit −∞ < a< b< ∞.

Die mehrdimensionale Regel lautet \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}\frac{\partial f}{\partial {x}_{v}}g\,d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial \,{\mathfrak{G}}}f\,g\,{{\mathfrak{n}}}_{v}d{\sigma }_{n-1}-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}f\frac{\partial g}{\partial {x}_{v}}d{\mathfrak{x}},\end{eqnarray} sie wird im Stichworteintrag partielle Integration für mehrdimensionale Integrale präzisiert.