Lexikon der Mathematik: Picard-Schema
genauer Picard-Schema eines Schemas X, der Modulraum (Modulprobleme) der Geradenbündel auf X, vorausgesetzt, ein solcher Modulraum existiert.
Dazu muß man einige einschränkende Voraussetzungen an X machen, z.B., daß X ein flaches projektives Schema über einem „genügend guten“ Basisschema S (z. B. Spektrum eines Körpers, Spektrum eines Ringes von endlichem Typ über ℤ, oder eine algebraische Kurve) ist, mit der Eigenschaft \({H}^{0}({X}_{\xi },{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\xi }})=k(\xi )\) für jede geometrische Faser von X über S.
Man kann noch ein relativ amples Geradenbündel \({{\mathcal{O}}}_{X}(1)\) von X über S fixieren und nach dem Modulraum der Geradenbündel vom Grad d (auf den Fasern, bzgl. \({{\mathcal{O}}}_{X}(1)\)) fragen. Dieser existiert und ist ein flaches quasiprojektives Schema \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) über S, und \({\bigsqcup }_{d\in {\mathbb{Z}}}{\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) ist der Modulraum aller Geradenbündel.
\({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\) ist ein Gruppenschema über S, und für ein d ∈ ℤ ist \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) lokal isomorph zu \({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\) (in der Etaltopologie) oder leer. \({\text{Pic}}_{X/S}^{0}\) bezeichne die Zusammenhangskomponente der Null in \({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\).
Am einfachsten ist die Beschreibung von \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) im Falle, daß \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) einen Schnitt besitzt. Man wähle einen solchen Schnitt s : S → X und definiere für jedes S-Schema U
Ist sU : U → XU der von s induzierte Schnitt
Anders formuliert: Es gibt ein universelles Bündel (Poincaré-Bündel)
Aus der funktoriellen Beschreibung von \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) lassen sich eventuell weitere Eigenschaften des Picard-Schemas ableiten, z. B.:
(i) Basiswechsel für U → S:
(ii) \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\to S\) ist eigentlich, wenn X glatt über S ist.
(iii) Wenn S = Spec(k), k ein Körper, so ist der Tangentialraum an den Nullpunkt
(iv) Im Falle von Körpern k der Charakteristik 0 und S = Spec(k) ist \({\text{Pic}}_{X/k}^{0}\) (und damit jedes \({\text{Pic}}_{X/k}^{d}\) glatt (da jedes Gruppenschema dann glatt ist).
Letzteres muß im Falle positiver Charakteristik nicht immer stimmen, \({H}^{2}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})=0\) ist eine hinreichende Bedingung, um Glattheit zu garantieren. Auf jeden Fall ist für glatte X
Hier wird also P als Familie von Bündeln über Â, parametrisiert durch X, betrachtet.
Wenn k = ℂ, so ist der zugrundeliegende analytische Raum
Für singuläre projektive Varietäten ist \({\text{Pic}}_{X}^{0}\) Erweiterung einer abelschen Varietät durch ein affines Gruppenschema. Im einfachsten Fall einer Kurve X, die nur gewöhnliche Doppelpunkte oder gewöhnliche Spitzen besitzt, hat man beispielsweise eine exakte Folge
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