Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es sei X eine projektive algebraische Varietät, und 𝔐 ein grober Modulraum (Modulprobleme) einer Klasse stabiler Vektorbündel auf X. Ein Bündel \({\mathcal{E}}\) auf X × 𝔐 (Faserprodukt über dem Grundkörper) heißt Poincaré-Bündel, wenn alle Bündel \(\mathcal{E}/X\times\{m\}\), m ∈ 𝔐 aus der betrachteten Klasse sind, und die induzierte Abbildung j : 𝔐 → 𝔐 die identische Abbildung ist.

Das Bündel \({\mathcal{E}}\) ist bis auf einen Faktor \(\mathcal{E}\otimes p^\ast \mathcal{L}\) : X × 𝔐 → 𝔐 Projektion, \(\mathcal{L}\in \rm Pic(\mathfrak{M})\)) eindeutig bestimmt. Zu jeder Familie \({\mathcal{F}}\) von Bündeln aus der betrachteten Klasse, parametrisiert durch ein Schema S, mit der induzierten Abbildung \(S\,\mathop{\to }\limits^{j}\,{\mathfrak{M}}\), gibt es ein Geradenbündel M ∈ Pic(S) und einen Isomorphismus \begin{eqnarray} {\mathcal F} \,\simeq \,{(\rm id_{X}\,\times \,j)}^{\ast }\,(\epsilon )\,\otimes \,{p}_{s}^{\ast }(M)\end{eqnarray} (p_s : X × S → S ist die Projektion auf S). Die Existenz eines Poincaré-Bündels ist z. B. unter folgender Voraussetzung gewährleistet: Es gibt Vektorbündel B₀, B₁ auf X, so daß für ein Bündel \({\mathcal{F}}\) der betrachteten Klasse gilt: \begin{eqnarray}\chi( {\mathcal F} \,\otimes \,{B}_{0})-\chi\,( {\mathcal F} \,\otimes \,{B}_{1})\,\text{=}\,1\end{eqnarray} (Riemann-Roch-Hirzebruch-Formel).

Beispiele: 1) Auf algebraischen KurvenX ist hinreichend, daß Grad und Rang der betrachteten Bündel teilerfremd sind.

2) Auf dem Picard-Schema projektiver Varietäten gibt es ein Poincaré-Bündel.

3) Für Flächen X ist hinreichend, daß Grad, Rang und χ(X, \({\mathcal{F}}\)) = χ für die betrachtete Klasse von Bündeln den größten gemeinsamen Teiler 1 haben.