im Sinne der Approximationstheorie als Synonym zum Begriff der polynomialen Approximation benutzte Kurzbezeichung für die beste Approximation mit Polynomen.

Polynomapproximation im Sinne der Funktionentheorie behandelt folgende Fragestellung: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f : D → ℂ eine Funktion. Gibt es eine Folge (p_n) von Polynomen, die in D kompakt konvergent (kompakt konvergente Folge) gegen f ist? Eine notwendige Bedingung hierfür ist offensichtlich, daß f ∈ 𝒪(D) wobei 𝒪(D) die Menge aller in Dholomorphen Funktionen bezeichnet. Falls jede Funktion f ∈ 𝒪(D) in obigem Sinne durch Polynome approximierbar sein soll, so muß D einfach zusammenhängend sein, d. h. jede Zusammenhangskomponente von D ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Der kleine Satz von Runge (Runge, kleiner Satz von) zeigt, daß unter diesen Voraussetzungen tatsächlich eine Folge (p_n) von Polynomen mit der obigen Eigenschaft existiert.

Weitaus schwieriger ist folgende allgemeinere Fragestellung: Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und f : K → ℂ eine Funktion. Gibt es eine Folge (p_n) von Polynomen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert? Eine notwendige Bedingung hierfür ist offensichtlich, daß f ∈ A(K), wobei A(K) die Menge aller auf K stetigen und in K^∘ holomorphen Funktionen bezeichnet. Dabei ist K^∘ die Menge der inneren Punkte von K. Im Fall \({K}^{\circ }\ =\ \emptyset\) entfällt natürlich die Forderung an die Holomorphie von f. Falls jede Funktion f ∈ A(K) gleichmäßig durch Polynome approximierbar sein soll, so muß ℂ \ K zusammenhängend sein. Der Satz von Mergelyan (Mergelyan, Satz von) zeigt, daß unter diesen Voraussetzungen tatsächlich jedes f ∈ A(K) gleichmäßig auf K durch Polynome approximierbar ist.