Theorie der besten Approximation durch Polynome.

Es sei C[a, b] die Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b], ∥.∥_∞ die Maximumnorm, und es bezeichne Π_n den Raum der Polynome vom maximalen Grad n ∈ ℕ₀. Das Problem der Approximation bzgl. Π_n besteht darin, für vorgegebenes f ∈ C[a, b] ein Polynom p_f ∈ Π_n zu bestimmen, für welches \begin{eqnarray}{\Vert f\ -\ {p}_{f}\Vert }_{\infty }\ \le \ {\Vert f\ -\ p\Vert }_{\infty }\end{eqnarray} für alle p ∈ Π_n gilt. In diesem Fall heißt p_f auch gleichmäßig beste Approximation an f hinsichtlich Π_n.

Aus einem von A. Haar 1918 bewiesenen Resultat hinsichtlich der gleichmäßigen Approximation in Haarschen Räumen kann man die folgende Eindeutigkeitsaussage für die polynomiale Approximation direkt ableiten. Modernere Beweise dieser allgemeineren Aussage verwenden das Kolmogorow-Kriterium.

Für jede Funktion f ∈ C[a, b] gibt es genau eine gleichmäßig beste Approximation p_f an f hinsichtlich Π_n.

Der Alternantensatz charakterisiert gleichmäßig beste Approximationen hinsichtlich Π_n.

Beispiel: Die gleichmäßig beste Approximation p_f ∈ Π_n an die Funktion f : [−1, 1] ↦ ℝ, definiert durch \begin{eqnarray}f\ (x)\ =\ {2}^{n}{x}^{n+1},\ x\ \in \ [-1,\ 1],\end{eqnarray} ist gegeben durch \begin{eqnarray}{p}_{f}(x)\ =\ {2}^{n}{x}^{n+1}\ -\ {T}_{n+1}\ (x),\ x\ \in \ [-1,\ 1],\end{eqnarray} wobei T_n+1 ∈ Π_n+1 das (n+1)-te TschebyschewPolynom ist. Dies kann man mit Hilfe des Alternantensatzes direkt erkennen, denn es gelten \begin{eqnarray}{T}_{n+1}\ (x)\ =\ {2}^{n}{x}^{n+1}\ +\ \mathrm{\ldots }\end{eqnarray} und, für i ∈ {0, …, n + 1}, \begin{eqnarray}{(-1)}^{n+1+i}{T}_{n+1}\ (\cos (\frac{(n+1-i)\pi}{n+1}))\ =\ {\Vert {T}_{n+1}\Vert }_{\infty }.\end{eqnarray} Als weiteres Beispiel der direkten Bestimmung der gleichmäßig besten Approximation für Funktionen aus einer bestimmten Klasse sei das Solotarew-Problem genannt. Die gleichmäßig beste Approximation an eine vorgegebenes f ∈ C[a, b] kann jedoch im allgemeinen nicht direkt bestimmt werden. Für den polynomialen Fall wurde hierzu 1934 ein iteratives Verfahren entwickelt, der sogenannte Remez-Algorithmus.