Lexikon der Mathematik: Tschebyschew-Polynome
rekursiv definierte Klasse von Polynomen, welche in vielen Bereichen der Numerischen Mathematik und der Approximationstheorie auftritt.
Die Tschebyschew-Polynome (erster Art)
Damit gilt
Alternative, direkte Darstellungen der Tschebyschew-Polynome sind gegeben durch
Somit gilt
In der → L2-Approximation ist die folgende Orthogonalitätseigenschaft der Tschebyschew-Polynome von Bedeutung:
Die Tschebyschew-Polynome genügen der Differentialgleichung
Gemeinsam mit den Tschebyschew-Polynomen zweiter Art, Un : [−1,1] ↦ ℝ, n ∈ ℕ0, definiert durch die Vorschrift
Man berechnet U0(x) = 1, U1(x) = 2x, und erhält beispielsweise durch Rekursion
Darüber hinaus gelten die Darstellungen
Tschebyschew-Polynome spielen bei der Herleitung von oberen und unteren Schranken für die Minimalabweichung bei gleichmäßiger polynomialer Approximation eine wichtige Rolle. Hierbei verwendet man für Funktionen mit näher spezifizierten Eigenschaften Reihenentwicklungen der Form
Eine solche Darstellung nennt man eine Tschebyschew-Entwicklung.
[1] Meinardus, G.: Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1967.
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