Lexikon der Mathematik: Relation
geordnetes Tripel (A, B, R), bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Teilmenge des kartesischen Produktes R ⊂ A × B.
Genauer handelt es sich dabei um zweistellige Relationen. Allgemeiner nennt man ein (n + 1)-Tupel (M1, …, Mn, R), wobei R eine Teilmenge des kartesisehen Produktes der n Mengen M1, …, Mn ist, eine n-stellige Relation auf den Mengen M1,…, Mn.
Die Menge R und insbesondere geometrische Veranschaulichungen dieser Menge werden als Graph der Relation bezeichnet. Relationen, deren Graph die leere Menge ist, heißen leere Relationen.
Oftmals ist es klar, um welche Mengen A und B bzw. M1, …, Mn es sich handelt, und die Menge R wird dann mit der Relation identifiziert.
Im Falle zweistelliger Relationen R ⊆ A × B schreibt man häufig a R b statt (a, b) ∈ R. Auch die Bezeichnung a ~ b : = a R b ist gebräuchlich, sofern es klar ist, um welche Relation R es sich handelt.
Sind A, B, C Mengen und \(R\subseteq A\times B\) und \(S\subseteq B\times C\) Relationen, so ist die Komposition oder Hintereinanderausfiihrung von R und S als folgende durch S o R (lies: S nach R oder S komponiert mit R) bezeichnete Relation auf A × C definiert:
1. Es sei A = B = C = ℝ. Dann gelten die Beziehungen
2. Handelt es sich bei den Relationen (A, B, f) und (B, C, g) um Abbildungen, so ist die Relation (A, C, ∘ f) ebenfalls eine Abbildung und mit der Komposition der Abbildungen f A → B und g : B → G identisch.
Die inverse Relation oder Umkehrrelation (B, A, R−1) der Relation (A, B, R) ist definiert durch
Relationen mit speziellen Eigenschaften
Es sei (A, B, R) eine Relation. R heißt linkstotal genau dann, wenn
R heißt rechtstotal genau dann, wenn
R heißt bitotal genau dann, wenn R linkstotal und rechtstotal ist. R heißt linkseindeutig genau dann, wenn
R heißt rechtseindeutig genau dann, wenn
R heißt eineindeutig genau dann, wenn R linkseindeutig und rechtseindeutig ist.
Beispiele:
3.(ℝ, ℝ, R) ist für \(R={\mathbb{R}}\times {{\mathbb{R}}}^{+}\) linkstotal, jedoch nicht rechtstotal, und weder linkseindeutig noch rechtseindeutig, für \(R=\{(x,y):|y|\lt 2x\}\) bitotal, jedoch weder links- noch rechtseindeutig, für \(R=\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\}\) eineindeutig, jedoch weder links- noch rechtstotal, für \(R=\{(x,y):y={x}^{2}\}\) eineindeutig und bitotal.
R heißt Abbildung genau dann, wenn R linkstotal und rechtseindeutig ist.
Nun sei A = B, d. h. R ⊆ A × A. R heißt reflexiv genau dann, wenn
Die Diagonale des kartesischen Produktes A × A ist definiert durch \(\Delta (A):=\{(a,a)\in A\times A:a\in A\}\). Es ist \(\Delta (A)\subseteq R\) genau dann, wenn R reflexiv ist. Beispiele:
4. Die einzige in den Beispielen 1 und 3 auftretende reflexive Relation ist \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},\{(x,y):|y|\lt 2\})\).
R heißt symmetrisch genau dann, wenn
R heißt antisymmetrisch oder identitiv genau dann, wenn
R heißt asymmetrisch genau dann, wenn
Beispiele:
In Beispiel 3 ist \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):|y|\lt 2\})\) die einzige symmetrische Relation, \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) die einzige asymmetrische Relation, und \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) sowie \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):y={x}^{3}\})\) sind die einzigen antisymmetrischen Relationen.
R heißt transitiv genau dann, wenn
Beispiele:
In Beispiel 3 sind genau die Relationen \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\times {{\mathbb{R}}}^{+})\) und \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) transitiv.
R heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
R heißt Partialordnung und A partiell geordnete Menge genau dann, wenn R reflexiv und transitiv ist. Ist R eine identitive Partialordnung, so heißt ROrdnungsrelation.
R heißt linear oder konnex genau dann, wenn
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