Riemannsche Krümmung, eine von den Punkten x ∈ M und den zweidimensionalen Unterräumen σ ⊂ T_x(M) der Tangentialräume T_x(M) abhängende Krümmungsfunktion K_σ einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g).

Der Riemannsche KrümmungstensorR von M ist durch eine bilineare Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}\ll{R}_{x}:(X,Y)\in {T}_{x}(M)\times {T}_{x}(M)\\ \to {R}_{x}(X,Y)\in {\text{End}}_{x}({T}_{x}(M))\end{array}\end{eqnarray} in den Raum der bezüglich der Riemannschen Metrik g_x schiefsymmetrischen linearen Endomorphismen End (T_x(M)) von T_x(M) gegeben. Bilden X und Y eine Basis des zweidimensionalen Unterraumes von σ, so ist K_σ durch die Gleichung \begin{eqnarray}{K}_{\sigma }=-\frac{g({R}_{x}(X,Y)X,Y)}{g(X,X)g(Y,Y)-{(g(X,Y))}^{2}}\end{eqnarray} definiert. Der Wert dieses Bruches hängt nicht davon ab, wie die Basis X, Y von σ gewählt wurde.

K_σ ist somit eine auf der Graßmannschen Mannigfaltigkeit Gr₂(T(M)) aller zweidimensionalen Unterräume σ ⊂ T(M) definierte reellwertige Funktion.

Es besteht folgender Zusammenhang mit der Gaußschen Krümmungk einer zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit N² ⊂ M:

Für jedes x ∈ N²gilt K_σ (x) = k(x), wobei\begin{eqnarray}\sigma (x)={T}_{x}({N}^{2})\subset {T}_{x}(M)\end{eqnarray}den Tangentialraum von N²im Punkt x bezeichnet.