Eigenschaft eines C^k -Vektorfeldes f bzw. eines C^k -Diffeomorphismus’ f.

Ein solches f heißt strukturstabil, falls es eine Umgebung U(f) von f in der C¹ -Topologie so gibt, daß alle g ∈ U(f) einen Fluß bzw. ein diskretes dynamisches System induzieren, die topologisch äquivalent zum von f induzierten Fluß bzw. diskreten dynamischen System sind.

Die Stabilität des Fixpunktes eines Vektorfeldes (Ljapunow-Stabilität) beschreibt die Empfindlichkeit der stationären Lösung des zugehörigen dynamischen Systems gegen Störungen, d. h., der Fixpunkt ist stabil, falls alle Orbits, die genügend nahe beim Fixpunkt vorbeilaufen, auch in der Nähe des Fixpunktes bleiben. Dieser Begriff berücksichtigt also, daß in der Realität Anfangsbedingungen nur innerhalb gewisser Fehlergrenzen gemessen werden können; ist ein Fixpunkt stabil, so führt das genügend geringe Abweichen des Startpunktes vom Fixpunkt nur zu kleinen Abweichungen von der stationären Lösung. Jedoch kann auch das Vektorfeld, das ein reales System modellieren soll, nur bis auf Fehler bestimmt werden. Aussagekräftige Vorhersagen sind daher nur bei Verwendung eines Vektorfeldes zu erwarten, das eine Umgebung von Vektorfeldern (in der C¹ -Topologie) besitzt so, daß – zumindest qualitativ – die Gesamtheit der Lösungen aller Vektorfelder aus dieser Umgebung gleich ist. Die qualitative Gleichheit der Lösungsgesamtheit zweier Vektorfelder wird dabei gerade durch die topologische Äquivalenz beschrieben.

Der Begriff der Strukturstabilität wurde von Andronow und Pontrjagin 1937 eingeführt.

Die strukturstabilen Vektorfelder auf zweidimensionalen kompakten Mannigfaltigkeiten werden in Peixotos Theorem charakterisiert. Für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten ist bisher keine solche umfassende Charakterisierung bekannt. Man beachte, daß nur die topologische, nicht jedoch die differenzierbare C^k -Äquivalenz gefordert wird, da letztere eine zu feine Unterscheidung dynamischer Systeme bildet.