lautet:

Es seien f, Fholomorphe Funktionen in \({\mathbb{E}}\) = {z ∈ ℂ : |z| < 1}, und f sei subordiniert zu F, d. h. es existiert eine holomorphe Funktion φ in \({\mathbb{E}}\)mit φ(0) = 0, φ(\({\mathbb{E}}\)) ⊂ \({\mathbb{E}}\)und f = F &ogr; φ. Dann gelten die folgenden Aussagen:

(a) Ist r ∈ (0, 1) und B_r = {z ∈ ℂ : |z| < r}, so gilt f (B_r) ⊂ F(B_r). Insbesondere ist f (\({\mathbb{E}}\)) ⊂ F(\({\mathbb{E}}\)).

(b) Für jedes r ∈ (0, 1) gilt\begin{eqnarray}\mathop{\max}\limits_{|z|\le r}|f(z)|\le \mathop{\max}\limits_{|z|\le r}|F(z)|.\end{eqnarray}

(c) Für jedes r ∈ (0, 1) gilt\begin{eqnarray}\mathop{\max}\limits_{|z|\le r}(1-|z{|}^{2})|{f}{^{\prime}}(z)|\le \mathop{\max}\limits_{|z|\le r}(1-|z{|}^{2})|{F}{^{\prime}}(z)|.\end{eqnarray}

(d) Es gilt | f′(0)| ≤ |F′(0)|. Ist | f′(0)| = |F′(0)|, so gibt es ein ϑ ∈ ℝ mit f(z) = F(e^iϑ z) für allez ∈ \({\mathbb{E}}\).

Dieses Ergebnis nennt man auch Lindelöfsches Prinzip. Ist f subordiniert zu F, so schreibt man dafür kurz f ≺ F. Unter der Zusatzvoraussetzung, daß F eine schlichte Funktion ist, gilt folgende Aussage.

Sind f, F holomorphe Funktionen in \({\mathbb{E}}\)und ist F schlicht in \({\mathbb{E}}\), so gilt f ≺ F genau dann, wenn f (0) = F(0) und f (\({\mathbb{E}}\)) ⊂ F(\({\mathbb{E}}\)). In diesem Fall ist die Funktion φ mit f = F &ogr; φ eindeutig bestimmt.

Aus dem Subordinationsprinzip folgt insbesondere: Ist f ≺ F und F ∈ H^∞ (Hardy-Raum), so ist f ∈ H^∞, und es gilt ∥ f ∥_∞ ≤ ∥F∥_∞. Eine Verallgemeinerung dieser Aussage stammt von Littlewood:

Es seien f, F holomorphe Funktionen in \({\mathbb{E}}\)und f ≺ F. Dann gilt für jedes p > 0 und r ∈ (0, 1) \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi}{\int}}|f(r{e}^{it}){|}^{p}dt\le \displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi}{\int}}|F(r{e}^{it}){|}^{p}dt.\end{eqnarray}

Ist also F ∈ H^p, so ist f ∈ H^p, und es gilt ∥ f∥_p ≤ ∥F∥_p.

Das folgende Ergebnis von Rogosinski liefert einen Zusammenhang zwischen den Taylor-Reihen von f und F.

Es seien f, F holomorphe Funktionen in \({\mathbb{E}}\)und f ≺ F. Weiter seien \(f(z)=\mathop{\sum ^{\infty}_{k=\infty}} {a}_{k}{z}^{k}\)und \(f(z)=\mathop{\sum ^{\infty}_{k=\infty}} {A}_{k}{z}^{k}\)die Taylor-Reihen von f und F um 0. Dann gilt für jedes n ∈ ℕ \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|{a}_{k}{|}^{2}\le \displaystyle \sum _{k=1}^{n}|{A}_{k}{|}^{2}.\end{eqnarray}

Im allgemeinen gilt aber nicht |a_k | ≤ |A_k | für alle k ∈ ℕ, denn für die durch f (z) := z² und F(z) := z definierten Funktionen gilt f ≺ F.