eine Abbildung f : M → TM von einer MannigfaltigkeitM in das Tangentialbündel TM von M, für die mit der natürlichen Projektionsabbildung π : TM → M gilt: π ○ f = id_M. Man spricht dann von einem Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit M. Die C^k-Vektorfelder auf M werden mit \({{\mathcal{V}}}^{k}(M)\) bezeichnet.

Ein Vektorfeld ist also eine Abbildung, die jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit M ein Element des zugehörigen TangentialraumesT_pM zuordnet; anschaulich stellt man sich ein Vektorfeld als Menge der Tangentialvektoren vor, die an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit angeheftet sind. Die natürliche Topologie auf \({{\mathcal{V}}}^{k}(M)\) ist die C^k-Topologie.

Siehe auch Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten und Vektorfeld auf der Sphäre.