Hemmes mathematische Rätsel: Das Dreieckszahlendreieck
Um aus Münzen ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge n zu legen, benötigt man n(n+1)/2 Münzen. Die Münzzahlen, die man für die Dreiecke der Seitenlängen 1, 2, 3, 4, … benötigt, nennt man Dreieckszahlen. Sie waren in der Antike schon den Griechen bekannt und Pythagoras hat sich im 6. vorchristlichen Jahrhundert mit ihnen beschäftigt. Die vier kleinsten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6 und 10.
Der 1963 in Denver geborene amerikanische Mathematiker Edward T. Pegg ist einer der produktivsten Autoren im Bereich der Unterhaltungsmathematik. Im Juni 2005 hat er ein hübsches Dreieckszahlenrätsel von Bryce Herdt veröffentlicht.
Setzen Sie in jedes Feld des Rasters eine Ziffer, so dass die vier Zeilen von links nach rechts und die vier Spalten von oben nach unten gelesen acht verschiedene Dreieckszahlen bilden.
Die einzigen einstelligen Dreieckszahlen sind 1, 3 und 6. Zwei dieser Zahlen müssen darum in der ersten Zeile und in der vierten Spalte stehen. Die Zahl n kann mit jeder Ziffer von 0 bis 9 enden. Setzt man in den Dreieckszahlenterm n(n+1)/2 nur die verschiedenen Endziffern von n ein, stellt man fest, dass die Dreieckszahlen nur auf 0, 1, 3, 5, 6 oder 8 enden können.
Die zweistellige Dreieckszahl in der dritten Spalte kann folglich nur mit 1, 3, 5, 6 oder 8 beginnen. Die einzigen Zahlen, die dies erfüllen, sind 10, 15, 36, 55 und 66. Die vierstellige Dreieckszahl in vierten Zeile muss mit 1, 3, 5, 6 oder 8 beginnen, die zweite Ziffer muss 0, 1, 3, 5, 6 oder 8 sein, die dritte 0, 5 oder 6 und die letzte 1, 3 oder 6. Nur die fünf Zahlen 1653, 3003, 5151, 5356 und 8001 genügen diesen Bedingungen.
In der zweiten Zeile steht eine der neun zweistelligen Dreieckszahlen 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78 und 91. Das hat zur Folge, dass in der zweiten Spalte nur eine der Zahlen 120, 136, 153, 171, 190, 561, 630, 666, 820 und 861 stehen kann. Der Rest ist nun nicht mehr schwierig und führt zu einer eindeutigen Lösung.
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