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Halbwegs

Treitz-Rätsel

Markieren Sie auf einem Blatt drei Ecken eines Dreiecks und nennen Sie sie A, B und C. Dann würfeln Sie mit einem Zufallsgenerator, der diese drei Ecken mit gleichen Wahrscheinlichkeiten aufruft (beim normalen Würfel würden etwa 1 oder 2 A ergeben, 3 oder 4 B und so weiter).

Starten Sie mit einer Ecke. Bewegen Sie dann jedesmal den Zeichenstift (ohne zu malen) vom aktuellen Ort den halben Weg zur gewürfelten Ecke und setzen Sie dort einen Punkt.

Überlegen Sie bitte, ob die Punktwolke das Dreieck gleichmäßig ausfüllen oder ob sie bestimmte Bereiche verschmähen wird (welche, wo?).

Machen Sie sich auch ein kleines Computerprogramm.

In diesen Bildern richtet sich die Farbe nach der jeweils zuletzt gewürfelten Ecke.

Man kann sich überlegen, dass jeder halbe Weg zu einer Ecke dazu beiträgt, das ganze Dreieck in die (linear) halb so große (und flächenmäßig 1/4 so große) Verkleinerung abzubilden, die an diese Ecke grenzt. Dabei geht das mittlere Dreieck buchstäblich leer aus.

Wenn es aber leer bleibt, liefert es auch keine Bilder in die Verkleinerungen hinein, und das setzt sich bis ins unendlich Feine fort. Es entsteht das Sierpinski-Dreieck.

Bei mehr als 3 Ecken gibt es Überlappungen der Teilbilder, wenn man nicht größere Wegverhältnisse wählt (gehen Sie zum Beispiel nicht 50, sondern 60 Prozent des Wegs, bevor Sie den Punkt setzen).

Bei unregelmäßig gesetzten Ecken fällt die Selbstähnlichkeit besonders deutlich ins Auge:

Und wie sieht es in drei Dimensionen aus?

In drei Dimensionen sieht es (ohne und mit Hilfslinien) so aus, wenn man die 4 Ecken eines regulären Tetraeders vorgibt: Es ergibt sich das (fraktale) Sierpinski-Tetraeder, das (mit einer anderen Erzeugungsweise) Hauptperson eines anderen Rätsels ist.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

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