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Hemmes mathematische Rätsel: Kanaldeckel

Nehmen wir einmal an, Kanaldeckel seien kreisrund, damit sie nicht in den Schacht fallen. Ist der Kreis die einzige Form mit dieser Eigenschaft?
Exotische Geometrie

In vielen Rätselbüchern findet man die Frage: Warum sind Kanaldeckel immer kreisrund? Die Antwort lautet meist, ein kreisförmiger Deckel könne, ganz egal, wie man ihn auch drehe, niemals in den Schacht fallen. Wahrscheinlich ist das aber nicht der tatsächliche Grund. Vielmehr wird es daran liegen, dass die Schächte einen kreisförmigen Querschnitt haben, weil sie dadurch am stabilsten sind.

Die klassische Kanaldeckelfrage habe ich vor einigen Jahren in ein neues mathematisches Rätsel umgewandelt. Es erschien erstmals in meinem 2003 veröffentlichten Buch »Die Quadrate des Teufels«.

Nehmen wir einmal an, Kanaldeckel seien kreisrund, damit sie nicht in den Schacht fallen. Ist der Kreis die einzige Form mit dieser Eigenschaft? Nehmen Sie dabei an, dass es im Schacht einen sehr schmalen Rand gibt, auf dem der Deckel liegt. Der Rand soll für die Aufgabe unendlich schmal, aber dennoch größer als null sein.

Die Dicke einer geometrischen Figur ist der Abstand zweier paralleler Geraden, die man links und rechts an die Figur zeichnet.

Kanaldeckel

Normalerweise ist die Dicke einer Figur nicht konstant, denn wenn man diese dreht, kann der Abstand der beiden Parallelen größer oder kleiner werden. Die Dicke eines Quadrates der Seitenlänge 1 beispielsweise kann jeden Wert zwischen 1 und √2 annehmen.

Geometrische Figuren, die, egal wie man sie dreht, immer die gleiche Dicke haben, nennt man Gleichdicke. Damit nun ein Kanaldeckel nicht in einen Schacht fällt, unabhängig davon, wie man ihn auf die Öffnung legt, müssen der Schacht und der Deckel Gleichdicke sein.

Das bekannteste Gleichdick ist der Kreis, aber es gibt auch noch beliebig viele andere. Das einfachste ist das Reuleauxsche Dreieck, das nach dem deutschen Mathematiker und Ingenieur Franz Reuleaux (1829–1905) benannt ist. Ein Reuleauxsches Dreieck erhält man, indem man bei einem gleichseitigen Dreieck über jede Seite einen Kreisbogen schlägt, der die jeweils gegenüberliegende Ecke als Mittelpunkt hat. Dieses Bogendreieck hat offensichtlich überall eine Dicke, die der Dreiecksseitenlänge entspricht.

Kanaldeckel

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