Stimmt diese Behauptung? - Spektrum der Wissenschaft

Rätseln mit Eder: Stimmt diese Behauptung?

von Hans-Karl Eder

Mann schaut ratlos vor einer mit Fragezeichen bemalten Wand nach oben. — © olly / stock.adobe.com (Ausschnitt)

Ein beliebiger Punkt P in einem Rechteck ist mit den vier Eckpunkten verbunden.

Zwei Beispiele:

© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)

Marie hat bei verschiedenen Positionen des Punktes P festgestellt, dass die folgende Gleichung gilt: a² + b² = c² + d²

Gilt diese Gleichung tatsächlich für sämtliche Positionen des Punktes P?

Maries Behauptung stimmt.

Es muss gezeigt werden, dass die folgende Gleichung stimmt:

© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)

© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)

Die beiden roten Linien durch den Punkt P verlaufen jeweils parallel zu den Rechteckseiten.

Es entstehen acht rechtwinklige Dreiecke.

In den grau unterlegten Dreiecken gilt jeweils der Satz des Pythagoras:

© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)

Bei der Addition der Terme a² und b² beziehungsweise c² und d² sind die beiden Summen identisch, und der Beweis ist erbracht.

© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)

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