Viviani
Beweisen Sie bitte anschaulich den Satz von Viviani: In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Punkt als Summe seiner Abstände von den drei Seiten die Höhe dieses Dreiecks.
Ein Beweis von wundervoller Eleganz benutzt die Flächenbestimmung.
Wenn noch nicht alles klar ist: Die Teildreiecke mit jeweils einer gemeinsamen Farbe haben als Höhen die genannten Abstände und gleich große Grundseiten, da das ganze Dreieck als gleichseitig vorausgesetzt wird. Unabhängig von der Lage des Punktes ist die Summe der drei Flächen gleich der Fläche des ganzen Dreiecks.
Mischungsverhältnisse \(a:b:c\) von drei Anteilen mit fester Summe \(a+b+c\)=const können in einem solchen Dreieck durch jeweils einen Punkt dargestellt werden (Dreiecks-Koordinaten). Der Satz ist auch auf Punkte außerhalb des Dreiecks anwendbar, die Abstände, die auf der Außenseite ihrer Seite liegen, sind dann negativ zu nehmen.
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