Hemmes mathematische Rätsel: Wie bastelt man die Weihnachtssterne?
Sabine hat aus Karton fünfzackige Weihnachtssterne geschnitten, deren Zacken gleichschenklige Dreiecke sind mit 9 cm langen Schenkeln und 6 cm langen Grundseiten. Auf den Zacken soll mit rotem Band buntes Herbstlaub befestigt werden. Das Band wird, so wie es das Bild zeigt, um eine Zacke gelegt und mit Klebeband an den Enden der Grundseite befestigt. Damit es straff gespannt bleibt und nicht verrutschen kann, muss es so kurz wie möglich sein. In welchen Abständen x und y von der Zackenspitze muss das Band von der Vorder- auf die Rückseite wechseln, damit seine Länge minimal wird?
Man kann sich die Zacke mit den Schenkeln a und der Grundseite b des Weihnachtssterns aus drei Lagen Karton vorstellen. Auf dem oberen Karton liegt der erste Abschnitt des Bandes, auf dem mittlere Karton der zweite Abschnitt und auf dem hinteren Karton der dritte Abschnitt. Klappt man die drei Kartonlagen auseinander, entstehen drei gleiche gleichseitige Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Nun kann man auch leicht die Lage des kürzesten Bandes sehen: Es verläuft schnurgerade über die drei Dreiecke, und die beiden Abstände zur Spitze x und y sind gleich groß. Da das gelbe und das rosa Dreieck die gleichen Winkel haben, sind sie ähnlich. Somit gilt nach dem Strahlensatz b/(a − x) = a/b, was sich zu x = (a2 − b2)/a umformen lässt. Mit a = 9 cm und b = 6 cm erhält man dadurch x = 5 cm.
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