Hemmes mathematische Rätsel: Welche Uhrzeit ist gesucht?
Max verlässt Adorf um 10.18 Uhr und wandert mit konstanter Geschwindigkeit nach Bestadt, das er um 13.30 Uhr erreicht. Am selben Tag bricht Moritz um 9.00 Uhr in Bestadt auf und wandert ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit auf demselben Weg nach Adorf, wo er um 11.40 Uhr ankommt. Die beiden Wanderer erreichen gleichzeitig eine Brücke, die einen breiten Fluss überquert. Max braucht für den Weg über diese Brücke eine Minute länger als Moritz. Um wie viel Uhr haben Max und Moritz die Brücke erreicht?
Der Weg von Adorf nach Bestadt hat die Länge L. Max benötigt für diesen Weg t1 = 3 Stunden und 12 Minuten oder 16/5 Stunden und hat darum die Geschwindigkeit v1 = L/t1 = 5L/16 km/h. Moritz hingegen benötigt für den umgekehrten Weg nur t2 = 2 Stunden und 40 Minuten oder 8/3 Stunden. Darum beträgt seine Geschwindigkeit v2 = L/t2 = 3L/8 km/h. Für die Überquerung der Brücke, die die Länge l hat, braucht Moritz Δt = 1 Minute oder 1/60 Stunde weniger als Max. Das bedeutet l/v1 – l/v2 = Δt, woraus nach dem Einsetzen der Geschwindigkeiten lt1/L – lt2/L = Δt oder l = Δt/(t1 – t2) · L wird. Mit den konkreten Zeiten erhält man daraus l = L/32. Wenn die beiden Wanderer die Brücke um T Uhr erreichen, ist die Summe ihrer beiden bis dahin zurückgelegten Wege 31L/32. Max ist dann T – (10 h + 18 min) = T – (10 + 18/60) h gewandert und Moritz T – 9 h. Dies ergibt v1(T – (10 + 18/60) h) + v2(T – 9 h) = 31L/32 und nach dem Einsetzen der Geschwindigkeiten 5L/16 · (T – (10 + 18/60)) + 3L/8 · (T – 9) = 31L/32. Löst man die Gleichung nach T auf, erhält man T = 11. Max und Moritz erreichen also um Punkt 11 Uhr die Brücke.
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