Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Ein blaues gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge n setzt sich aus lauter blauen Dreiecken der Seitenlänge 1 zusammen. Es wird von einem Ring aus gelben Dreiecken der Seitenlänge 1 umschlossen und von einem zusätzlichen gelben Dreieck gekrönt. Das Bild zeigt das Dreieck für n = 2. Wie groß muss n sein, damit das blaue Dreieck und der gelbe Ring samt gelbem Krönchen aus gleich vielen Dreiecken bestehen?
Das große blaue Dreieck hat die Seitenlänge n. Da es damit die n‑fache Seitenlänge eines kleinen Dreiecks hat, besitzt es die n²-fache Fläche. Also besteht es aus n² kleinen Dreiecken. Der gelbe Ring hat einschließlich der beiden fehlenden Dreiecke an den unteren Ecken die Seitenlänge n + 3. Der gelbe Ring ohne die unteren Ecken, aber mit dem Krönchen besteht somit aus (n + 3)2 – n2 – 2 gelben Dreiecken. Weil die Zahl der gelben und der blauen Dreiecke gleich sein soll, gilt (n + 3)2 – n2 – 2 = n2, was sich zu n2 – 6n – 7 = 0 zusammenfassen lässt. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist n = 7.
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