Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?
Der 1943 in Flörsheim am Main geborene Mathematiker Karl Jakob Dienst aus Aachen schickte mir im Juli 2024 eine hübsche Aufgabe aus dem Umfeld des Satzes des Pythagoras.
An ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 6, 8 und 10 werden die Kathetenquadrate und das Hypotenusenquadrat gezeichnet. Anschließend verbindet man die Mittelpunkte der drei Quadrate miteinander und erhält das grüne Dreieck. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks?
Das rechtwinklige blaue Dreieck ABC hat Katheten der Längen a und b. Die Kathetenquadrate CBIJ und ACKL haben Seiten der Längen a und b, und damit Diagonalen der Längen a√2 und b√2. Ihre Mittelpunkte N und O haben deshalb den Abstand 1/2(a + b)√2. Das Hypotenusenquadrat ABGE wird durch drei zusätzliche blaue Dreiecke zum Quadrat CHFD mit der Seitenlänge a + b und der Diagonalenlänge (a + b)√2 ergänzt. Die beiden Quadrate ABGE und CHFD haben denselben Mittelpunkt M. Folglich hat das Dreieck MNO eine Grundseite der Länge NO = 1/2(a + b)√2 und eine Grundseitenhöhe der Länge CM = 1/2(a + b)√2. Sein Flächeninhalt beträgt darum 1/2 · 1/2(a + b)√2 · 1/2(a + b)√2 = 1/4(a + b)2 = 1/4(6 + 8)2 = 49.
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