Hemmes mathematische Rätsel: Wie lautet die kleinste Basis?
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Eine dreistellige natürliche Dezimalzahl ABC hat drei verschiedene Ziffern A, B und C. Welches ist die kleinste Basis, in der die Umkehrzahl CBA den gleichen Wert hat wie die Dezimalzahl ABC?
Ist b die Basis der Umkehrzahl, so gilt ABC10 = CBAb oder 100A + 10B + C = Cb2 + Bb + A. Dies lässt sich zu 99A = (b – 10)B + (b2 – 1)C zusammenfassen. Da die Zahlen drei verschiedene Ziffern haben, muss b ≥ 3 sein. Außerdem müssen die Ziffern A, B und C alle kleiner als b und auch kleiner als 10 sein. Natürlich muss b ≠ 10 sein. Falls b < 10 ist, muss A < C sein, und falls b > 10 ist, muss A > C sein. Probiert man unter diesen Einschränkungen systematisch alle Basen ab 3 durch, findet man als Lösung mit der kleinsten Basis 83410 = 43814.
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