Hemmes mathematische Rätsel: Wie muss man das Dreieck zerlegen?
Der 1944 in Hertfordshire geborene englische Elektroingenieur Lee Sallows veröffentlichte im Dezember 2014 in der Zeitschrift »Mathematics Magazine« folgendes Rätsel:
Wie kann man ein beliebiges Dreieck so durch drei gerade Schnitte zerlegen, dass sich die entstehenden Teile zu drei deckungsgleichen Dreiecken anordnen lassen?
Um das Problem zu lösen, zerschneidet man das Dreieck zuerst entlang der drei Seitenhalbierenden und dreht dann jeweils benachbarte Teildreiecke um eine gemeinsame Ecke, so wie es das Bild zeigt, zu drei Dreiecken zusammen.
Aber sind diese Dreiecke auch tatsächlich deckungsgleich? Dazu betrachtet man den Schnittpunkt S der drei Seitenhalbierenden. Er teilt diese bekanntlich immer im Verhältnis 2:1. Daher ist x = 2y. Nach dem Zusammenlegen der gelben Teilstücke muss DS = 2y sein, da y nach der Drehung zweimal auftritt. Im grünen Dreieck SBE hat die Seite BE nach dem Eindrehen des Teildreiecks die Länge von SC = x. Also sind die Dreiecksseiten DS, BE und SC gleich lang.
Auf gleiche Weise lässt sich AS = SE = FC und BS = SF = DA begründen. Damit haben alle drei zusammengelegten Dreiecke gleich lange Seiten und müssen daher kongruent sein. Die Maße des Ausgangsdreiecks spielen dabei keine Rolle. Übrigens sind die drei zusammengesetzten Dreiecke in der Regel dem Ausgangsdreieck nicht ähnlich, obwohl dies unter bestimmten Bedingungen durchaus möglich wäre.
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