Eine gute Freundin hatte kürzlich Geburtstag. Sie war ein bisschen traurig, dass sie nun nicht mehr 42 Jahre alt ist, denn immerhin ist das die berühmte Zahl aus dem Roman »Per Anhalter durch die Galaxis« und die Antwort auf die Frage »nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest«. Eine kurze Recherche hat aber auch Interessantes über ihr neues Lebensalter zu Tage befördert. Hintergrund ist diese Formel:

Dabei sind a₁ bis a_n teilerfremde Zahlen und die x₁ bis x_n natürliche Zahlen, inklusive der Null. Der Witz daran ist, dass man bestimmte Zahlen mit dieser Formel darstellen kann, andere aber nicht. Man trifft Formel und Phänomen im Kontext des so genannten »Münzproblems«, also der Frage, welche Summen man aus einem gegebenen Satz an Münzen bilden kann.

Wenn ich zum Beispiel nur 2- und 5-Cent-Münzen habe, dann werde ich damit nichts bezahlen können, was 3 Cent kostet, vorausgesetzt natürlich, es existiert kein Wechselgeld. Ich kann Preise von 2 und 4 Cent bezahlen, 5, 6 und 7 Cent klappen ebenfalls, genauso wie 8, 9 und 10 Cent. 11 Cent kriegt man durch ein 5-Cent-Stück und drei 2-Cent-Stücke zusammen, und so weiter.

Abgesehen davon, dass man in der Realität vermutlich schnell Ärger bekommen würde, wenn man an der Kasse mit einem Sack voller Cent-Münzen auftaucht, steckt hinter der Fragestellung sehr interessante Mathematik. Der deutsche Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius wollte im 19. Jahrhundert wissen, welches die größte Zahl ist, die sich nicht auf die durch die Formel vorgegebene Weise schreiben lässt.

Dass es überhaupt so eine größte Zahl gibt, liegt daran, dass die a₁ bis a_n teilerfremd sind. Man kann leicht sehen, warum das so sein muss. Hätte man beispielsweise einen ganzen Haufen 2-Cent-Stücke und einen weiteren Haufen hypothetischer 4-Cent-Stücke, dann sind beide Cent-Werte durch 2 teilbar. Es wäre unmöglich, daraus ungerade Zahlen zu bilden, und es gäbe keine größte nicht bildbare Zahl.

Frobenius und die Hähnchen-Nuggets

Sind die Werte der Münzen dagegen teilerfremd, dann kann jede ausreichend große Zahl als lineare Kombination dargestellt werden – das folgt übrigens aus dem »Satz von Schur«. Nur: Wie groß muss die Zahl sein? Das war die Frage von Frobenius, weswegen die größte natürliche Zahl, die sich nicht durch obige Formel darstellen lässt, auch »Frobenius-Zahl« genannt wird.

Im Fall von nur zwei Münzen kann man die Frobenius-Zahl direkt aus dem Satz von Sylvester berechnen. Der britische Mathematiker James Joseph Sylvester fand 1884 eine exakte Lösung zur Berechnung der Frobenius-Zahl für n = 2. Man bildet zuerst das Produkt von a₁ und a₂ und zieht davon die beiden Zahlen ab (a₁·a₂ – a₁ – a₂). Für n > 2 hat dagegen noch niemand eine geschlossene Formel gefunden.

In Spezialfällen kann man dennoch konkrete Aussagen machen, und einer davon betrifft so genannte »McNugget-Zahlen«. Hier geht es nicht um Münzen, sondern um die frittierten Hähnchenstücke, die man in einem Fast-Food-Restaurant bekommen kann. Dort werden sie klassischerweise in Packungsgrößen von 6, 9 und 20 Stück verkauft. Falls man dort ungut auffallen möchte, kann man probieren, eine Anzahl an McNuggets zu bestellen, die sich nicht in diesen Einheiten liefern lässt. 14 Stück lassen sich zum Beispiel nicht zusammenstellen, wenn man nur 6er- und 9er-Packungen verwenden will.

Die größte Zahl an nicht verkaufbaren McNuggets allerdings ist 43. Dass es wirklich die größte Zahl ist, kann man sich leicht klarmachen, wenn man die nachfolgenden Zahlen betrachten. 44 bis 49 Stück lassen sich problemlos aus den vorgegebenen Packungsgrößen zusammenstellen. Und alle weiteren ganzen Zahlen lassen sich durch fortlaufende Additionen von 6 zu diesen Zahlen bilden.

43 ist also die größte natürliche Zahl, die keine McNugget-Zahl ist. Die Freundin war davon aber nur mäßig begeistert. Als Vegetarierin kann sie mit frittiertem Huhn wenig anfangen und trauert der verlorenen 42 immer noch ein wenig nach.