Mögen Sie auch Wetten und Glücksspiele? Damit stehen Sie nicht allein da. Wie wäre es zum Beispiel mit diesem: Wir werfen einen fairen Würfel. Landet er auf der Eins oder Zwei, erhalten Sie 10 Euro, bei einer Drei bekommen Sie 20 Euro; sonst gehen Sie leer aus. Da Sie auf diese Weise nichts verlieren können, verlange ich einen Einsatz von 10 Euro für jeden Wurf. Nehmen Sie an?

Natürlich können Sie diese Entscheidung aus dem Bauch heraus treffen. Doch es gibt auch einen systematischen Weg, um herauszufinden, ob sich das Risiko lohnt. Schon früh haben Mathematikerinnen und Mathematiker versucht, Strategien zu entwickeln, um die Gewinne in Glücksspielen zu maximieren. Zum Beispiel, indem sie Kriterien definiert haben, wann man einsteigen sollte – und wann man lieber die Finger davon lässt.

Möchte man herausfinden, welcher Einsatz für eine Teilnahme gerechtfertigt ist, kann man sich der Wahrscheinlichkeitstheorie bedienen. Im Allgemeinen gilt ein Spiel als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns bei null liegt. Bevor Sie also mein Angebot für das Würfelspiel annehmen, sollten Sie den Erwartungswert für den Ausgang einer Runde berechnen.

Bei zwei von sechs möglichen Ergebnissen, also mit einer Wahrscheinlichkeit von ⅓, gewinnen Sie 10 Euro und die Chance auf 20 Euro beträgt ⅙ (wenn der Würfel auf der Drei landet). Multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten mit den Geldbeträgen und addiert sie, erhält man 40/6 = 20/3. Statistisch gesehen gewinnen Sie pro Spiel also durchschnittlich 6,66 Euro. Doch ich verlange 10 Euro Einsatz von Ihnen, wodurch ich im Mittel 3,33 Euro pro Spiel gutmache. Sie sollten das Angebot also definitiv ablehnen. In diesem Fall hilft Ihnen die Mathematik, eine finanziell sinnvolle Entscheidung zu treffen.

Zahl: Ich gewinne; Kopf: Du verlierst … Oder wie war das?

Doch bei einem Spiel, über das sich Nikolaus I Bernoulli mit Pierre de Montmort im Jahr 1713 austauschte, fällt die Entscheidung nicht ganz so einfach aus: Dabei wird eine Münze so lange geworfen, bis sie zum ersten Mal auf Kopf landet. Die Anzahl der Würfe entscheidet über Ihren Gewinn. Beim ersten Mal Zahl erhalten Sie einen Euro, dann zwei, dann vier – der Erlös wird stets verdoppelt. Stellen Sie sich vor, ich biete Ihnen an, dieses Spiel zu spielen. Allerdings verlange ich einen extrem hohen Einsatz von 2000 Euro. Würden Sie das Angebot annehmen?

Wahrscheinlich wird jeder vernünftig denkende Mensch diese Frage mit einem klaren »Nein« beantworten. Aber was wäre dann ein angemessener Einsatz? Dazu kann man wieder die Mathematik zu Rate ziehen und sich den Erwartungswert ansehen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ½ landet die Münze beim ersten Wurf auf Zahl, zweimal hintereinander Zahl entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ¼, dreimal entspricht ⅛ und so weiter. Gleichzeitig verdoppelt sich jeweils der Gewinn. Der Erwartungswert ergibt sich also aus der unendlichen Summe: 1 · ½ + 2 · ¼ + 4 · ⅛ + … = ∑_k (½)^k · 2^k−1 = ∑_k½, was unendlich ergibt.

Kein Einsatz ist zu hoch!

Mathematisch gesehen gibt es keinen Einsatz, der zu hoch ist – man sollte das Spiel also immer spielen, unabhängig vom geforderten Einsatz. Da Bernoulli und Montmort in ihrem Gedankenexperiment ein Kasino in Sankt Petersburg als Schauplatz wählten, nannten sie das kontraintuitive Ergebnis fortan Sankt-Petersburg-Paradoxon. Das bezeichnet aber kein Paradoxon im eigentlichen Sinn: Das einzig Paradoxe ist, dass Menschen wohl niemals die Handlungsempfehlung befolgen würden. »Wenige von uns wären bereit, auch nur 25 Dollar zahlen«, äußerte der kanadische Wissenschaftsphilosoph Ian Hacking.

Ein Grund, weshalb dieses kontraintuitive Ergebnis überhaupt entsteht, ist – wie so häufig – die Unendlichkeit. Dadurch, dass der Erwartungswert aus einer Addition unendlich vieler Summanden entsteht, kommt dessen unbegrenzter Wert zu Stande. Dabei steigt der Gewinn, den ich Ihnen zahlen muss, wenn die Münze häufig hintereinander auf Zahl fällt, rapide an: Bei sechs erfolgreichen Würfen erhalten Sie 32 Euro, bei sechs weiteren schulde ich Ihnen bereits 2048 Euro – und wenn Sie eine Glückssträhne haben und weitere sechs Mal Zahl fällt, dann muss ich Ihnen 131 072 Euro geben. Da stellt sich die Frage, ob ich diese Summe überhaupt besitze.

Denn wie sich herausstellt, ist das geschilderte Spiel überaus unrealistisch: Der Erwartungswert kann nur dann einen unendlichen Wert annehmen, wenn der Herausforderer über unendliche Ressourcen verfügt. Das ist bei mir natürlich mehr als fragwürdig. Doch selbst einem Kasino, das prall gefüllte Kassen besitzt, sind Grenzen gesetzt. Wenn man ein endliches Kapital voraussetzt, kann das Spiel nicht unendlich oft fortgeführt werden: Es endet spätestens dann, wenn die höchste Anzahl an Würfen gefallen ist, die der Herausforderer gerade noch bewältigen kann.

Wie unterscheiden sich Elon Musk und ich als Herausforderer?

Angenommen, ich habe 1050 Euro auf meinem Konto und bin bereit, alles zu setzen, um Sie mit dem Münzwurf herauszufordern. Natürlich kann ich nun keinen Einsatz von 2000 Euro verlangen, wenn Sie höchstens etwas mehr als einen Riesen von mir erhalten. Daher mache ich Ihnen einen Freundschaftspreis: 6 Euro Einsatz und schon sind Sie dabei! Würden Sie nun annehmen?

Da ich lediglich über 1050 Euro verfüge, verändert sich der Erwartungswert des Spiels. Falls Sie elfmal hintereinander Zahl werfen, muss ich Ihnen bereits 1024 Euro zahlen – einen zwölften Wurf kann ich also womöglich nicht finanzieren. Daher entspricht der veränderte Erwartungswert nun: 1 · ½ + 2 · ¼ + 4 · ⅛ + … + 1024 · 1/2048 = ½ · 11 = 5,5. Durch mein begrenztes Vermögen hat sich die Situation demnach völlig verändert – statt eines unendlichen Erwartungswerts erhält man nun das Ergebnis 5,5. Bei einem Einsatz von 6 Euro sollten Sie das Spiel also ablehnen. Wenn Sie mich hingegen auf 5 Euro herunterhandeln (und dabei ausnutzen, dass ich im Kopfrechnen nicht besonders begabt bin), dann stehen Ihre Chancen gut, etwas Gewinn zu machen.

Wie sieht es nun aus, wenn Elon Musk, der 2022 über mehr als 200 Milliarden Euro verfügte, Sie zum Spielen herausfordert? Welchen Einsatz sind Sie in diesem Fall bereit zu zahlen? Um das zu berechnen, muss man wieder ermitteln, wie viele Runden Elon Musk maximal durchhalten kann, bevor er pleite ist. Er wird zwar länger spielen können als ich, aber da der Gewinn exponentiell wächst, ist das Ergebnis dennoch verblüffend gering: Nach 38 Runden müsste er Ihnen bereits etwas mehr als 137 Milliarden Euro zahlen – und könnte einen 39. Wurf nicht riskieren. Der Erwartungswert entspricht daher 19 Euro. Das heißt: Selbst wenn der reichste Mensch auf der Welt sie herausfordert, sollten Sie höchstens einen Einsatz von 19 Euro bezahlen.

Damit ist das Sankt-Petersburg-Paradoxon also ein Paradebeispiel für ein realitätsfernes Ergebnis in der Mathematik. Theoretisch sollte man zwar immer bei dem Münzwurf-Spiel einsteigen, in der Praxis sind der Wahrscheinlichkeit, damit einen Gewinn zu erzielen, allerdings klare Grenzen gesetzt.

​​Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!