ein lineares Funktional ϕ auf dem Folgenraum ℓ^∞( Folgenräume) mit

1. ϕ((x_n)_n) ≥ 0, falls alle; x_n ≥ 0,
2. ϕ((x_n+1)_n) = ϕ ((x_n)_n),
3. ϕ(e) = 1 für die Folge e = (1, 1, 1, …).

Für solch ein Funktional gilt stets \begin{eqnarray}\mathrm{lim}\,\inf \,{x}_{n}\le \varphi ({({x}_{n})}_{n})\le \,\mathrm{lim}\,\sup \,{x}_{n},\end{eqnarray} und ϕ ist eine normerhaltende Fortsetzung des Limesfunktionals vom Folgenraum c auf ℓ^∞.

Die Existenz von Banach-Limiten wird mit dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach bewiesen.