Lexikon der Mathematik: Dreiecksmatrix
eine quadratische Matrix A = ((aij)), bei der entweder alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind.
Man verdeutlicht sich die Situation am besten mit Hilfe der Abbildung.
Obere und untere Dreiecksmatrix 
Im ersten Falle gilt aij = 0 für alle i, j ∈ {1,…, n} mit i >j, und man spricht von einer oberen Dreiecksmatrix. Im letzteren Falle gilt aij = 0 für alle i, j ∈ {1, …, n} mit i< j, und man spricht von einer unteren Dreiecksmatrix.
Die Determinante einer Dreiecksmatrix A = (aij) ergibt sich als Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente:
\begin{eqnarray}\det A={a}_{11}{a}_{22}\ldots {a}_{nn}.\end{eqnarray}
Jede beliebige quadratische Matrix läßt sich durch mehrmaliges Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile in eine Dreiecksmatrix überführen; der Wert der Determinante der Matrix ändert sich hierdurch nicht.
Zahlreiche numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b, zur Lösung von Eigenwertproblemen Ax = λx oder zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems
\begin{eqnarray}||{A}_{x}-b||=\mathop{\min }\limits_{x}\end{eqnarray}
basieren auf der Transformation der Koeffizientenmatrix A auf Dreiecksgestalt, da man dann die jeweilige Lösung sofort ablesen kann. Man vergleiche hierzu etwa das Gauß-Verfahren zur direkten Lösung linearer Gleichungssysteme, den QR-Algorithmus zur Lösung von Eigenwertproblemen oder die Methode der kleinsten Quadrate zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems.[1] Fischer, G.: Lineare Algebra. Verlag Vieweg Braunschweig, 1978.
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