eine Integral-Transformation der Form \(f\mapsto {F}_{n}^{(v)}\), \begin{array}{l}{F}_{n}^{(v)}:=\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{(1-{x}^{2})}^{v-\frac{1}{2}}{P}_{n}^{v}(x)f(x)\space dx \\ \quad \quad \quad (n\in {{\mathbb{N}}}_{0},v\gt \frac{1}{2}), \end{array} wobei \({P}_{n}^{v}\) die Gegenbauer-Polynome sind.

Die inverse Gegenbauer-Transformation ist gegeben durch die Formel \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n!(n+v){{\rm{\Gamma }}}^{2}(v){2}^{2v-1}}{\pi \space {\rm{\Gamma }}(n+2v)}{P}_{n}^{v}(x){F}_{n}^{(v)}\end{eqnarray} für (x ∈ (−1, 1)).