die im folgenden formulierte Aussage aus der Funktionentheorie:

Es sei \(h:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\)eine normalisierte quasisymmetrische Funktion.

Dann existiert genau eine quasikonforme Kurve \(\Gamma \subset \hat{{\mathbb{C}}}\)mit folgender Eigenschaft : Bezeichnen G₁und G₂die beiden Zusammenhangskomponenten von \(\hat{{\mathbb{C}}}/\Gamma \) (dies sind einfach zusammenhängende Gebiete), so gibt es eindeutig bestimmte konforme Abbildungen f₁von \({{\mathbb{H}}}_{+}=\{z\in {\mathbb{C}}:\text{Im}z\gt 0\}\)auf G₁und f₂von \({{\mathbb{H}}}_{-}=\{z\in {\mathbb{C}}:\text{Im}z\lt 0\}\)auf G₂, die sich beide zu Homöomorphismen f₁von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{+}\)auf \({\bar{G}}_{1}\)und f₂von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{-}\)auf \({\bar{G}}_{2}\) fortsetzen lassen derart, daß \({f}_{1}(0)={f}_{2}(0),{f}_{1}(1)={f}_{2}(1),{f}_{1}(\infty )={f}_{2}(\infty )\)und \(({f}_{1}^{-1} \circ {f}_{2})(x)=h(x)\)für allex ∈ ℝ.

Hierbei bezeichnet \(\bar{E}\) stets den Abschluß einer Menge \(E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\).

Dieser Satz spielt eine wichtige Rolle bei der Beschreibung des universellen Teichmüller-Raumes.

Es gilt auch folgende Umkehrung dieses Satzes.

Es sel Γ ⊂ \(\hat{{\mathbb{C}}}\)eine quasikonforme Kurve, G₁und G₂die beiden Zusammenhangskomponenten von \(\hat{C}\backslash \Gamma \), f₁eine konforme Abbildung von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{+}\)auf G₁und f₂von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{-}\)auf G₂mit f₁(∞) = f₂(∞), wobei die Fortsetzungen von f₁bzw. f₂zu Homöomorphismen von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{+}\)auf \({\bar{G}}_{1}\)bzw. von \({\bar{{\mathbb{H}}}}_{-}\)auf \({\bar{G}}_{2}\)wieder mit f₁bzw. f₂bezeichnet werden. Weiter sei \(h:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\)definiert durch \(h(x):=({f}_{1}^{-1} \circ {f}_{2})(x)\)für \(x\in {\mathbb{R}}\).

Dann ist h eine quasisymmetrische Funktion.