Multilinearform der Stufe 4 auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), die sich durch innere Multiplikation mit der Riemannschen Metrik g aus dem Riemannschen Krümmungstensor ergibt.

Man bezeichnet den kovarianten Krümmungstensor ebenfalls mit R und definiert ihn durch \begin{eqnarray}R(X,\text{}Y,U,\text{}V)\text{}=\text{}g(R(X,\text{}Y)U,\text{}V)\end{eqnarray}

für ein Quadrupel (X, Y, U, V) ∈ T_x(M). Seine lokalen Koeffizienten R_ijkm ergeben sich aus den lokalen Koeffizienten g_ij von g und den lokalen Koeffizienten \({R}_{kij}^{l}\) des ursprünglichen Krümmungstensors durch \begin{eqnarray}{R}_{ijkm}=\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{g}_{js}{R}_{ikm}^{s}.\end{eqnarray}

Sie besitzen die Symmetrieeigenschaften R_ij;km = R_km;ij und R_ij;km = −R_ji;km = −R_ij;mk.