auch oft nur Lebesgue-Maß genannt, spezielles Maß im ℝ^d.

Es sei ℐ^d der Mengenhalbring der links offenen rechts abgeschlossenen Intervalle in ℝ^d mit (a, a] = ∅ und λ^d : ℐ^d → \({\bar{ {\mathcal I} }}_{+}\), wobei λ^d(I^d) für I^d ∈ ℐ^d das Volumen von I^d bezeichnet, eine Mengenfunktion auf ℐ^d.

Dann ist λ^d ein σ-endliches Maß auf ℐ^d, das eindeutig zu einem σ-endlichen Maß auf dem von ℐ^d erzeugten Mengenring fortgesetzt werden kann, und von dort nach einem Satz von Caratheodory eine eindeutige Fortsetzung auf die σ-Algebra 𝒜^∗ der bzgl. des nach Caratheodory konstruierten äußeren Maßes \({\bar{\lambda }}^{d}\) meßbaren Mengen von Ω besitzt. Da die Borel-σ-Algebra ℬ(ℝ^d) Teilmenge von 𝒜^∗ ist, besitzt λ^d somit auch eine eindeutige, σ-endliche Fortsetzung auf ℬ(R^d).

Man nennt dann i. allg. λ^d, definiert auf ℬ(ℝ^d), das Lebesgue-Borel-Maß auf ℝ^d, definiert auf 𝒜^∗ das Lebesgue-Maß auf ℝ^d, \({\bar{\lambda }}^{d}\) das Lebesguesche äußere Maß, die Nullmengen bzgl. λ^d in ℬ(ℝ^d) Lebesgue-Borel-Nullmengen, die Elemente von 𝒜^∗ die Lebesgue-Mengen oder Lebesgue-meßbaren Mengen in ℝ^d und die Nullmengen bzgl. λ^d in 𝒜^∗ die Lebesgue-Nullmengen in ℝ^d.

(ℝ^d, 𝒜^∗, λ^d) ist ein vollständiger Maßraum, und die größte σ-Algebra auf ℝ^d, auf die λ^d als Maß fortgesetzt werden kann (Banach-Hausdorff-Tarski-Paradoxon). λ^d ist auf 𝒜^∗ invariant gegenüber Bewegungen in ℝ^d und somit das Haar-Maß in ℝ^d.