asymptotische Charakterisierung der typischen Trajektorien in Wahrscheinlichkeitsräumen der Form \(({{\rm{\Omega }}}_{n},{\mathfrak{P}}({{\rm{\Omega }}}_{n}),{P}_{n})\), wobei Ω_n für alle n ∈ ℕ das n-fache kartesische Produkt der Menge {1, …, r}, r ∈ ℕ, und P_n das durch die Festsetzung \begin{eqnarray}{P}_{n}(\{{\omega }_{n}\})={p}_{1}^{{v}_{1}({\omega }_{n})}\cdot \cdots \cdot {p}_{r}^{{v}_{r}({\omega }_{n})}\end{eqnarray} für alle ∈ w_n ∈ Ω_n eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge \({\mathfrak{P}}({{\rm{\Omega }}}_{n})\) bezeichnet. Hier ist p₁, …, p_r ∈ (0, 1], \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{r}{p}_{i}=1\). Der Wert v_i(w_n) gibt dabei für i = 1, …, r an, wie oft die Zahl i als Komponente von w_n auftritt. Die Elemente der für n ∈ ℕ und ϵ > 0 durch \begin{eqnarray}C(n,\varepsilon )=\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\cap }}\left\{{\omega }_{n}\in {{\rm{\Omega }}}_{n}:|\frac{{v}_{i}({\omega }_{n})}{n}-{p}_{i}|\lt \varepsilon \right\}\end{eqnarray} definierten Menge C(n, ϵ) werden als typische Trajektorien bezeichnet. Der folgende Satz von McMillan zeigt, daß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer typischen Trajektorie mit wachsendem n gegen Eins strebt und gibt mit Hilfe der Entropie \begin{eqnarray}H=-\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{p}_{i}\mathrm{ln}{p}_{i}\end{eqnarray}

Abschätzungen für die Anzahl der typischen Trajektorien sowie ihrer Einretenswahrscheinlichkeiten an.

Es sei 0 < ϵ < 1. Dann existiert ein von p₁, …, p_r und ϵ abhängendes n₀so, daß für alle n >n₀gilt

1. \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{P}_{n}(C(n,{\varepsilon }_{1}))=1\),
2. e^n(H−ϵ) ≤ |C(n,ϵ₁)| ≤ e^n(H+ϵ),
3. e^−n(H+ϵ) ≤ P_n({w_n}) < e^−n(H−ϵ) für alle w_n ∈ C(n, ϵ₁).

Dabei wurde \({\varepsilon }_{1}=\min (\varepsilon, \varepsilon /(-2)\displaystyle {\sum }_{i=1}^{r}\mathrm{ln}{p}_{i}))\) gesetzt.