im engeren Sinne eine funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei ( f, D) einanalytisches Funktionselement und G ⊂ ℂ einGebiet derart, daß D ⊂ G und ( f, D) längs jeden Weges γ :[0, 1] → G mit γ (0) ∈ D eineanalytische Fortsetzung besitzt. Weiter seien a ∈ D, b ∈ G und γ₀, γ₁ :[0, 1] → G Wege in G mit γ₀(0) = γ₁(0) = a und γ₀(1) = γ₁(1) = b. Die analytischen Fortsetzungen von ( f, D) längs γ₀bzw. γ₁seien mit ( f₀, D₀) und ( f₁, D₁) bezeichnet.

Sindγ₀und γ₁FEP-homotop (siehehomotope Wege), so gilt f₀(z) = f₁(z) für allez ∈ D₀ ∩ D₁. Insbesondere gilt f₀(b) = f₁(b).

Eine spezielle Version des Monodromiesatzes für einfach zusammenhängende Gebiete lautet:

Es sei ( f, D) ein analytisches Funktionselement und G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet derart, daß D ⊂ G und ( f, D) längs jeden Weges γ :[0, 1] → G mit γ (0) ∈ D eine analytische Fortsetzung besitzt. Dann existiert genau eine in G holomorphe Funktion F derart, daß F(z) = f(z) für allez ∈ D.

Man kennt auch stark abstrahierte Fassungen des Monodromiesatzes; hierfür sind einige Vorbereitungen nötig. Seien X und S glatte projektive algebraische Varietäten über ℂ und \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) ein surjektiver Morphismus mit zusammenhängenden Fasern gleicher Dimension.

Der kritische Ort von π ist ein Divisor D = ∑D_j, und es sei vorausgesetzt, daß D nur Normale Kreuzungen hat. Sei S⁰ = S − D, X⁰ = π⁻¹(S₀), π⁰ : X⁰(ℂ) → S⁰(ℂ) die von π induzierte Abbildung, X⁰ = X⁰(ℂ), und S⁰ = S⁰(ℂ) mit der analytischen Topologie versehen.

Sei s₀ ∈ S⁰, und sei für jedes D_j γ_j(t) ein genügend kleiner geschlossener Weg in S⁰ um die Komponente D_j mit γ_j(0) = γ_j(1) = s₀, [γ_j] sei eine Homotopie-Klasse. Ist schließlich ℂ_X0 die zu ℂ gehörige konstante Garbe auf X⁰, dann ist für jedes n das höhere direkte Bild Rⁿπ_∗(ℂ_X⁰ ) lokal konstant (mit Halmen Hⁿ(X_s, ℂ), X_s Faser in s ∈ S⁰). Schließlich sei T : π₁(S⁰, s₀) → Aut Hⁿ(X_s0, ℂ), T_j = T([γ_j]) (Picard-Lefschetz-Transformation).

Der Monodromiesatz besagt nun in dieser Situation, daß für eine geeignete ganze Zahl m > 0 \begin{eqnarray}{({T}_{j}^{m}-Id)}^{d+1}=0\end{eqnarray}

gilt (d = dim X_S). Mit anderen Worten: Die Eigenwerte der Picard-Lefschetz-Transformation sind Einheitswurzeln, und die Jordanblöcke in der Jordanschen Normalform haben höchstens die Länge d + 1.