Konzept zur kompakten Notation von Objekten mehrerer Variabler.

Ein n-Multiindex i = (i₁, i₂,… , i_n) ist ein Tupel von Indizes i₁, i₂,… , i_n ∈ ℕ₀. Die Länge |i| eines Multiindexes ist definiert als \(|i|:=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n}{i}_{j}\). Desweiteren setzt man

\begin{eqnarray}i!:=\displaystyle \prod _{j=1}^{n}({i}_{j}!).\end{eqnarray}

Sind n Variable X₁, X₂, … ,X_n gegeben, so setzt man

\begin{eqnarray}{X}^{i}:={X}_{1}^{{i}_{1}}{X}_{1}^{{i}_{2}}\cdots {X}_{n}^{{i}_{n}}.\end{eqnarray}

Ein beliebiges Polynom vom Grad k mit Koeffizienten in einem Körper \({\mathbb{K}}\) kann dann als

\begin{eqnarray}f(X)=\displaystyle \sum _{l=0}^{k}\displaystyle \sum _{|i|=l}{\alpha }_{i}{X}_{i}=\displaystyle \sum _{|i|=0}^{k}{\alpha }_{i}{X}^{i}\end{eqnarray}

Diese Schreibweise wird auf Ableitungen ausgedehnt. Ist i ein Multiindex, so bezeichnet Dⁱ den Differentialoperator

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{\partial }^{|i|}}{\partial {x}_{1}^{{i}_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{i}_{n}}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|i|=0}^{k}{\alpha }_{i}(x){D}^{i}\end{eqnarray}

Weitere interessante Anwendungen sind die Multinomialformel

\begin{eqnarray}{({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{a}_{n})}^{k}=k!\displaystyle \sum _{|i|=k}\frac{{a}^{i}}{i!}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f(x+h)=\displaystyle \sum _{|i|=0}^{\infty }\frac{{h}^{i}}{i!}{D}^{i}f(x)\end{eqnarray}

Multiindizes können ebenso für unendliche Tupel i = (i₁, i₂,…) mit i_k ∈ ℕ betrachtet werden, falls für das Tupel i vorausgesetzt wird, daß nur endlich viele i_k ≠ 0 sind.