Lexikon der Mathematik: Poisson-Kern
für ζ , z ∈ ℂ mit |ζ |= R > 0 und |z| < R definiert durch
Im folgenden wird nur der Spezialfall R = 1 betrachtet. Man schreibt dann kurz P(ζ,z) und definiert auf [0, 1) × ℝ die Funktion
- Für festes ζ ∈ T ist P(ζ, ·) eine harmonische Funktion in 𝔼.
- \({\mathcal{P}}\)(r, φ + 2π) = \({\mathcal{P}}\)(r, φ) für (r, φ) ∈ [0, 1) × ℝ.
- \({\mathcal{P}}\)(r, φ) = \({\mathcal{P}}\)(r, −φ) für (r, φ) ∈ [0, 1) × R.
- \(\mathcal{P}(r,\phi ):=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{r}^{|n|}{e}^{in\phi }\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,(r,\phi )\in [0,1)\times {\rm{{\mathbb{R}}}}.\)
- \({\mathcal{P}}\)(r, φ) > 0 für (r, φ) ∈ [0, 1) × ℝ.
- \(\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\phi )d\phi =1\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r\in [0,1).\)
- Für 0 < |φ| ≤ π gilt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1}\mathcal{P}(r,\varphi )=0,\) und zwar gleichm gleichmäßig in φ auf der Menge
\begin{eqnarray}\{\varphi \in {\rm{{\mathbb{R}}}}:\delta \le |\varphi |\le \pi \}\end{eqnarray} für jedes δ > 0.
Der Poisson-Kern spielt eine wichtige Rolle beim Poisson-Integral und bei der Poisson-Integral-formel.
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