im Einheitskreis 𝔼 ={ z ∈ ℂ : |z| < 1 } definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\,\,\,\, z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray} Dabei ist ℤ = reit, \({\mathcal{P}}\) der Poisson-Kern, f ∈ L1(𝕋) (d. h. f : 𝕋 → ℂ ist Lebesgue-integrierbar) und 𝕋 = ∂𝔼. Statt F schreibt man auch P[f]. Es ist P[f] eine komplexwertige harmonische Funktion in 𝔼, d. h. P[f] = u + iv, wobei u, v (reellwertige) harmonische Funktionen in 𝔼 sind. Im allgemeinen ist P[f] aber keine holomorphe Funktion.
Zur Erläuterung weiterer Eigenschaften von P[f] wird für 1 ≤ p< ∞ und für eine komplexwertige harmonische Funktion u in 𝔼 gesetzt \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{p}:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}{\left(\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{|u(r{e}^{it})|}^{p}dt\right)}^{1/p},\end{eqnarray} und für p = ∞ \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{\infty }:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}\mathop{\max }\limits_{t\in (-\pi ,\pi ]}|f(r{e}^{it})|.\end{eqnarray} Dann sei hp die Menge aller in 𝔼 harmonischen Funktionen u derart, daß ∥u∥p< ∞. Mit der punktweisen Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen ist hp ein komplexer Vektorraum. Weiter ist ∥ · ∥p eine Norm auf hp, und hp damit ein Banachraum. Man nennt hpHardy-Raum harmonischer Funktionen. Es gilt h∞ ⊂ hq ⊂ hp ⊂ h1 für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Dabei sind alle diese Inklusionen echt, d. h. für p ≠ q gilt hp ≠ hq. Der Raum h1 enthält alle positiven harmonischen Funktionen in 𝔼.
Mit diesen Bezeichnungen gilt P[f] ∈ h1 für alle f ∈ L1(𝕋). Genauer ist die Abbildung P: L1(𝕋) → h1 mit f ↦ P[f] linear und injektiv, aber nicht surjektiv. Weiter bildet P den Unterraum Lp(𝕋), 1 < p ≤ ∞ bijektiv auf hp ab.
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