im Einheitskreis đŒ ={ z â â : |z| < 1 } definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\,\,\,\, z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray} Dabei ist †= reit, \({\mathcal{P}}\) der Poisson-Kern, f â L1(đ) (d. h. f : đ â â ist Lebesgue-integrierbar) und đ = âđŒ. Statt F schreibt man auch P[f]. Es ist P[f] eine komplexwertige harmonische Funktion in đŒ, d. h. P[f] = u + iv, wobei u, v (reellwertige) harmonische Funktionen in đŒ sind. Im allgemeinen ist P[f] aber keine holomorphe Funktion.
Zur ErlĂ€uterung weiterer Eigenschaften von P[f] wird fĂŒr 1 †p< â und fĂŒr eine komplexwertige harmonische Funktion u in đŒ gesetzt \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{p}:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}{\left(\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{|u(r{e}^{it})|}^{p}dt\right)}^{1/p},\end{eqnarray} und fĂŒr p = â \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{\infty }:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}\mathop{\max }\limits_{t\in (-\pi ,\pi ]}|f(r{e}^{it})|.\end{eqnarray} Dann sei hp die Menge aller in đŒ harmonischen Funktionen u derart, daĂ â„uâ„p< â. Mit der punktweisen Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen ist hp ein komplexer Vektorraum. Weiter ist ℠· â„p eine Norm auf hp, und hp damit ein Banachraum. Man nennt hpHardy-Raum harmonischer Funktionen. Es gilt hâ â hq â hp â h1 fĂŒr 1 †p †q †â. Dabei sind alle diese Inklusionen echt, d. h. fĂŒr p â q gilt hp â hq. Der Raum h1 enthĂ€lt alle positiven harmonischen Funktionen in đŒ.
Mit diesen Bezeichnungen gilt P[f] â h1 fĂŒr alle f â L1(đ). Genauer ist die Abbildung P: L1(đ) â h1 mit f ⊠P[f] linear und injektiv, aber nicht surjektiv. Weiter bildet P den Unterraum Lp(đ), 1 < p †â bijektiv auf hp ab.
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