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Lexikon der Mathematik: Poisson-Integral

im Einheitskreis đ”Œ ={ z ∈ ℂ : |z| < 1 } definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\,\,\,\, z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray} Dabei ist â„€ = reit, \({\mathcal{P}}\) der Poisson-Kern, f ∈ L1(𝕋) (d. h. f : 𝕋 → ℂ ist Lebesgue-integrierbar) und 𝕋 = âˆ‚đ”Œ. Statt F schreibt man auch P[f]. Es ist P[f] eine komplexwertige harmonische Funktion in đ”Œ, d. h. P[f] = u + iv, wobei u, v (reellwertige) harmonische Funktionen in đ”Œ sind. Im allgemeinen ist P[f] aber keine holomorphe Funktion.

Zur ErlĂ€uterung weiterer Eigenschaften von P[f] wird fĂŒr 1 ≀ p< ∞ und fĂŒr eine komplexwertige harmonische Funktion u in đ”Œ gesetzt \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{p}:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}{\left(\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{|u(r{e}^{it})|}^{p}dt\right)}^{1/p},\end{eqnarray} und fĂŒr p = ∞ \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{\infty }:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}\mathop{\max }\limits_{t\in (-\pi ,\pi ]}|f(r{e}^{it})|.\end{eqnarray} Dann sei hp die Menge aller in đ”Œ harmonischen Funktionen u derart, daß ∄u∄p< ∞. Mit der punktweisen Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen ist hp ein komplexer Vektorraum. Weiter ist ∄ · ∄p eine Norm auf hp, und hp damit ein Banachraum. Man nennt hpHardy-Raum harmonischer Funktionen. Es gilt h∞ ⊂ hq ⊂ hp ⊂ h1 fĂŒr 1 ≀ p ≀ q ≀ ∞. Dabei sind alle diese Inklusionen echt, d. h. fĂŒr p ≠ q gilt hp ≠ hq. Der Raum h1 enthĂ€lt alle positiven harmonischen Funktionen in đ”Œ.

Mit diesen Bezeichnungen gilt P[f] ∈ h1 fĂŒr alle f ∈ L1(𝕋). Genauer ist die Abbildung P: L1(𝕋) → h1 mit f ↩ P[f] linear und injektiv, aber nicht surjektiv. Weiter bildet P den Unterraum Lp(𝕋), 1 < p ≀ ∞ bijektiv auf hp ab.

Ist f ∈ L1(𝕋) und eit0 ∈ 𝕋 ein Lebesgue-Punkt von f, d. h. \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to {t}_{0}}\frac{1}{t-{t}_{0}}\displaystyle \underset{{t}_{0}}{\overset{t}{\int }}|f({e}^{i\vartheta })-f({e}^{i{t}_{0}})|d\vartheta =0,\end{eqnarray} so gilt fĂŒr den radialen Grenzwert \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1}P|f|(r{e}^{i{t}_{0}})=f({e}^{i{t}_{0}}).\end{eqnarray} Insbesondere existiert dieser Grenzwert fĂŒr fast alle eit0 ∈ 𝕋. Falls f stetig auf 𝕋 ist, so gilt dies fĂŒr alle eit0 ∈ 𝕋. Setzt man in diesem Fall \begin{eqnarray}H|f|(r{e}^{it}):=\left\{\begin{array}{ll}\begin{array}{l}f({e}^{it})\\ P|f|(r{e}^{it})\end{array} & \begin{array}{l}\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r=1,\\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,0\le r\lt 1,\end{array}\end{array}\right.\end{eqnarray} so ist H[f] stetig auf \(\bar{E}\) und harmonisch in E.

Allgemeiner kann man das Poisson-Integral eines komplexen Borel-Maßes ” auf 𝕋 betrachten. Dieses ist definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)d\mu ({e}^{i\vartheta })d\vartheta , \,\,\,\, z\in \mathbb{E}.\end{eqnarray} Statt F schreibt man P[d”]. Ist f ∈ L1(𝕋) und definiert man fĂŒr eine Borel-Menge E ⊂ 𝕋 \begin{eqnarray}\mu (E):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{E}f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\end{eqnarray} so ist ” ein komplexes Borel-Maß auf 𝕋 und P[d”] = P[f]. Es gilt P[d”] ∈ h1. Genauer liefert ” → P[d”] eine lineare, bijektive Abbildung zwischen dem Raum aller komplexen Borel-Maße auf 𝕋 und h1. Dabei wird die Menge aller positiven endlichen Borel-Maße auf 𝕋 bijektiv auf die Menge aller positiven harmonischen Funktionen in đ”Œ abgebildet.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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