grundlegender Begriff für die Beschreibung der Topologie der uniformen Konvergenz auf kompakten Teilmengen.

Für jeden Bereich X ⊂ ℂⁿ besitzt der Ring C_X der stetigen komplexwertigen Funktionen auf X die natürliche Topologie eines Funktionenraumes. Versehen mit dieser Topologie ist C_X ein topologischer Ring. Diese Topologie ist folgendermaßen definiert: Für jede kompakte Teilmenge K ⊂ X und jede reelle Zahl ϵ > 0 sei \begin{eqnarray}U(K,\varepsilon )=\{f\in {C}_{X}|f(z)\lt \varepsilon \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,z\in K\}.\end{eqnarray}

Die Mengen U (K, ϵ) für alle solchen K und ϵ werden als eine Basis für die offenen Umgebungen des Nullelementes von C_X, der Funktion f ≡ 0, gewählt. Eine Folge von Funktionen f_ν ∈ C_X konvergiert genau dann gegen eine Funktion f ∈ C_X, wenn die Funktionen f_ν auf jeder kompakten Teilmenge von X gleichmäßig gegen f konvergieren. Daher nennt man diese Topologie auch „die Topologie der uniformen Konvergenz auf kompakten Teilmengen“. Offensichtlich ist der Ring C_X vollständig bezüglich dieser Topologie.

Diese Topologie kann auch in der folgenden, äquivalenten Form definiert werden: Für jede kompakte Teilmenge K ⊂ X und jedes f ∈ C_X sei \begin{eqnarray}||f|{|}_{K}=\mathop{\sup }\limits_{z\in K}|f(z)|.\end{eqnarray}

Da f stetig und K kompakt ist, ist der Wert ||f||_K eine wohldefinierte, endliche reelle Zahl, und die Abbildung f ↦ || f||_K ist eine Pseudonorm auf dem Ring C_X, da gilt \begin{eqnarray}||f+g|{|}_{K}\le ||f|{|}_{K}+||g|{|}_{K}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}||fg|{|}_{K}\le ||f|{|}_{K}\cdot ||g|{|}_{K}\end{eqnarray}

für beliebige f, g ∈ C_X. Für eine Konstante c ∈ ℂ gilt ||c||_K = |c| · ||f||_K. Die Abbildung ist keine Norm, da aus 0 genau dann, wenn ||f||_K = 0 nicht folgt f ≡ 0. Es gilt vielmehr f ≡ 0 für jedes K. Die offenen Basisumgebungen des Nullelementes in der Topologie auf C_X können geschrieben werden als \begin{eqnarray}U(K,\varepsilon )=\{f\in {C}_{X}||||f|{|}_{K}\lt \varepsilon \}.\end{eqnarray}