Lexikon der Mathematik: quadratische Form
Abbildung q : V → K eines K-Vektorraumes V in seinen zugrundeliegenden Körper 𝕂, für die gilt:
- q(av) = a2q(v) für alle a ∈ 𝕂, v ∈ V;
- durch (v1, v2) 4→q(v1 + v2) − q(v1) − q(v2) ist eine Bilinearform auf V gegeben.
Diese Bilinearform heißt die zu q assoziierte Bilinearform oder die Polarisierte zu q; sie ist stets symmetrisch. Die quadratische Form q heißt nicht ausgeartet, falls ihre assoziierte Bilinearform nicht ausgeartet ist.
Beispiele: (1) Durch q : 𝕂n → 𝕂,
ist für beliebige cij ∈ 𝕂 eine quadratische Form auf dem 𝕂-Vektorraum 𝕂n gegeben. Zu einer solchen quadratischen Form existiert stets eine symmetrische Matrix A über 𝕂 mit
Die symmetrische Matrix A heißt die Matrixdarstellung oder die Formenmatrix der quadratischen Form q, sie ist durch q eindeutig bestimmt.
Andererseits definiert auch jede symmetrische (n × n)-Matrix über 𝕂 mittels (1) eine quadratische Form q auf 𝕂n, d. h. die quadratischen Formen auf
𝕂n entsprechen umkehrbar eindeutig den symmetrischen (n × n)-Matrizen über 𝕂.
(2) Ist q eine quadratische Form auf dem n-dimensionalen Vektorraum V mit der Basis B = (b1, …, bn), so gilt:
wobei (x1, …, xn) einen Koordinatenvektor bzgl. B bezeichnet, und β die zu q assoziierte Bilinearform ist.
Im Falle char 𝕂 ≠ 2 läßt sich eine quadratische Form q aus ihrer assoziierten Bilinearform β zurückgewinnen:
Umgekehrt wird durch (2) eine quadratische Form q definiert, falls β eine symmetrische Bilinearform ist. Im Falle char 𝕂 ≠ 2 entsprechen die quadratischen Formen auf einem 𝕂-Vektorraum V also umkehrbar eindeutig den symmetrischen Bilinearformen auf V.
Die quadratische Form q auf dem n-dimensionalen 𝕂-Vektorraum V (char 𝕂 ≠ 2) ist genau dann nicht ausgeartet, wenn die zu q assoziierte Bilinearform bzgl. einer Basis von V durch eine reguläre Matrix beschrieben wird.
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