Lexikon der Mathematik: suffiziente Statistik
eine Stichprobenfunktionmit einer bestimmten Güteeigenschaft.
Es sei \(\overrightarrow{X}=({X}_{1},\ldots, {X}_{n})\) eine mathematische Stichprobe mit dem zugehörigen Stichprobenraum [ℝn, ℬn] (ℬn ist die σ-Algebra der Borel-Mengen des ℝn), deren Wahrscheinlichkeitsverteilung \({P}_{\overrightarrow{X}}\) einer parametrisierten Familie Q = (Qγ)γ∈+Γ von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf [ℝn, ℬn] angehört. Mit anderen Worten, \({P}_{\overrightarrow{X}}\) sei bis auf einen unbekannten Parameter (vektor) γ ∈ Γ bekannt.
Dem Begriff der Suffizienz einer Statistik Tn = T(X1, …, Xn) liegt die Vorstellung zugrunde, daß bei der durch Tn definierten Datenverdichtung kein Verlust an Information über γ eintritt. Man bezeichnet demzufolge die Statistik Tn (z. B. eine Punktschätzung für γ) als suffizient (hinreichend, erschöpfend), wenn die bedingte Verteilung
für alle A ∈ ℬn unabhängig von γ ∈ + ist.
Die Suffizienz einer Statistik bedeutet also, daß die Lage der einzelnen Stichprobenwerte xi innerhalb einer Stichprobe (x1, …, xn) mit T(x1, …, xn) = t keine zusätzlichen Informationen über γ liefert.
Beispiel. Sei Xi, i = 1,…,n, ein Bernoulli-Schema, d. h., sei \(\overrightarrow{X}\) = (X1, …, Xn) eine Stichprobe einer stochastisch unabhängigen zweipunktverteilten Zufallsgröße X mit den Werten 1 (Erfolg) und 0 (Mißerfolg) und der Erfolgswahrscheinlichkeit p = P(X = 1). Dann gilt für die Verteilung \({P}_{\overrightarrow{X}}\) :
mit γ = p ∈ [0, 1]. Diese Verteilung hängt also außer von γ nur von der Anzahl der Gesamterfolge \(\mathop{\sum ^{n}_{i=1}} {x}_{i}\) ab.
Betrachten wir die Statistik
die als Anzahl der Erfolge bei n-maliger Wiederholung eines zweipunktverteilten Versuches binomialverteilt ist, so folgt unter Anwendung der Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten sofort:
Dies bedeutet, daß die Statistik \({T}_{n}=\mathop{\sum ^{n}_{i=1}} {X}_{i}\) suffizient für den Parameter γ = p der Verteilung \({P}_{\overrightarrow{X}}\) ist.
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