Lexikon der Mathematik: Vervollständigung eines normierten Raums
die„Einbettung” eines normierten Raumes (X, || · ||) in einen vollständigen normierten Raum (Banachraum).
Dazu erklärt man auf der Menge CF(X) aller Cauchyfolgen auf X durch
\begin{eqnarray}({x}_{n})\sim ({y}_{n}):\iff ||{x}_{n}-{y}_{n}||\to 0\end{eqnarray}
eine Äquivalenzrelation. Die Vervollständigung χ von X ist dann die Menge der Äquivalenzklassen bzgl „˜”. (χ, || · ||’) mit
\begin{eqnarray}||[({x}_{n})]|{|}^{\prime}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}||{x}_{n}||\end{eqnarray}
ist dann ein vollständiger normierter Raum, in dem X in natürlicher Weise dicht eingebettet ist:\begin{eqnarray}X\to {\mathcal{X}};\,\,\,\,x\mapsto [(x)],\end{eqnarray}
d. h., man identifiziert die Elemente aus X mit den Äquivalenzklassen der konstanten Folgen. Siehe auch Vervollständigungssätze.Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
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