fundamentaler Satz in der Theorie der analytischen Mengen, insbesondere bei ihrer Untersuchung vom punktu-ellen Standpunkt unter Anwendung formaler algebraischer Methoden.

Sei

\begin{eqnarray}\mathbb{C}\left[ \left[ X,Y \right] \right]\,:=\mathbb{C}\left[ \left[ {{X}_{1}},...,{{X}_{n}},Y \right] \right]\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\mathbb{C}\left\{ X,Y \right\}\,:=\,\mathbb{C}\left\{ {{X}_{1}}, \ldots, {{X}_{n}},Y \right\}\end{eqnarray}

Man charakterisiert Potenzreihen, die nicht identisch auf der Y-Achse verschwinden. Eine Potenzreihe P heißt

i) Y-allgemein (distinguished in Y) von der Ordnung b, wenn

\begin{eqnarray}p\left( 0, \ldots, 0,Y \right)={{Y}^{b}}.e\end{eqnarray}

ii) ein Weierstraß-Polynom vom Grad b in Y, wenn

\begin{eqnarray}p={{Y}^{b}}+\sum\limits_{j=1}^{\text{b}}{{{a}_{j}}{{Y}^{b-j}}}\end{eqnarray}

Jedes monische Polynom P ≠ 0 vom Grad b in ℂ [[X]] [Y] ist Y-allgemein von der Ordnung kleiner oder gleich b. Ein solches Polynom (ist genau dann ein Weierstraß-Polynom, wenn P (0, Y) eine Nullstelle von der Ordnung b an der Stelle Y = 0 besitzt.

Es gilt nun der Weierstraßsche Vorbereitungssatz:

Ist P ∈ ℂ [[X, Y]] Y-allgemein von der Ordnung b, dann gibt es genau ein Weierstraß-Polynom ω ∈ ℂ [[X]] [Y] vom Grad b und genau eine Einheit e ∈ ℂ [[X, Y]], so daß P = ω · e; liegt ferner P in ℂ {X, Y} (bzw. in ℂ {X} [Y]), dann liegen auch ω und e in ℂ {X, Y} (bzw. in ℂ {X} [Y]).

Die Weierstraßsche Divisionsformel lautet:

Ist P ∈ ℂ [[X, Y]] Y-allgemein von der Ordnung b, dann ist die Abbildung

\begin{eqnarray}\begin{array}{*{35}{l}}\mathbb{C}\left[ \left[ X,Y \right] \right].P\oplus \mathbb{C}\left[ \left[ X \right] \right]{{\left[ Y \right]}_{b}}\to \mathbb{C}\left[ \left[ X,Y \right] \right], \\ \left( q.P,r \right)\mapsto q.P+r, \\\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\mathbb{C}\left\{ X,Y \right\}\cdot P\oplus \mathbb{C}\left\{ X \right\}{{\left[ Y \right]}_{b}}\cong \mathbb{C}\left\{ X,Y \right\}.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\mathbb{C}\left\{ X \right\}\left[ Y \right]\cdot P\oplus \mathbb{C}\left\{ X \right\}{{\left[ Y \right]}_{b}}\cong \mathbb{C}\left\{ X \right\}\left[ Y \right].\end{eqnarray}