Hemmes mathematische Rätsel: Gibt es diese Art von Dreiecken?
Bei dem abgebildeten Dreieck ist jede Höhe kürzer als die Seite, auf der sie steht. Gibt es Dreiecke, bei denen höchstens eine ihrer Höhen kürzer ist als die Seite, auf der sie steht? Wenn ja, wie sehen sie aus?
Sind ha und hb die beiden Höhen, die nicht kürzer sind als die Seiten a und b, auf denen sie stehen, so gelten die Ungleichungen a ≤ ha und b ≤ hb.
Es ist offensichtlich, dass keine Höhe länger sein kann als die beiden Seiten, auf denen sie nicht steht. Das heißt: ha ≤ b und hb ≤ a. Die vier Ungleichungen lassen sich zur Ungleichungskette a ≤ ha ≤ b ≤ hb ≤ a verbinden. Da das erste und das letzte Glied der Kette gleich sind, gilt a = ha = b = hb. Dies ist aber nur dann möglich, wenn die Höhe ha und die Seite b und die Höhe hb und die Seite a jeweils zusammenfallen. Somit ist das einzige Dreieck, bei dem höchstens eine seiner Höhen kürzer ist als die Seite, auf der sie steht, rechtwinklig und gleichschenklig.
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