Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Wert ist gesucht?
In einer Ebene liegen endlich viele Punkte. Würde man jeden Punkt mit jedem anderen durch eine Strecke verbinden, wären alle diese Strecken unterschiedlich lang. Aber das macht man nicht. Stattdessen zeichnet man von jedem Punkt aus eine Strecke zum nächstgelegenen Punkt. Dass dadurch manche Strecken mehrfach gezeichnet werden, spielt keine Rolle. Sie zählen dennoch nur einfach. Mit wie vielen Punkten kann ein Punkt auf diese Weise anschließend höchstens verbunden sein?
Es ist möglich, auf diese Weise einen Punkt mit fünf anderen Punkten zu verbinden. Das Bild zeigt ein Beispiel. Dabei betragen die Abstände AX = 1, BX = 1,1, CX = 1,2, DX = 1,3 und EX = 1,4. Zunächst wird X mit A und danach werden A, B, C, D und E mit X verbunden. Dass X für A, B, C, D und E tatsächlich der nächstgelegene Punkt ist, kann man leicht mit dem Kosinussatz überprüfen, da alle von zwei benachbarten Verbindungsstrecken eingeschlossenen Winkel 72° groß sind: AB ≈ 1,24, BC ≈ 1,35, CD ≈ 1,47, DE ≈ 1,59 und EA ≈ 1,45. Alle anderen Abstände sind offensichtlich größer.
Wäre der Punkt X mit sechs anderen Punkten A, B, C, D, E und F verbunden, könnte einer der Winkel zwischen zwei Verbindungsstrecken nicht größer als 360°/6 = 60° sein. Nehmen wir einmal an, es sei der Winkel BXA. Das bedeutet, dass die Strecke AB nicht länger als die Strecken AX und BX sein kann. Da aber alle Verbindungen unterschiedlich lang sind, muss AB kürzer als AX und BX sein. Dies widerspricht aber der Voraussetzung. Folglich kann ein Punkt mit höchstens fünf anderen Punkten verbunden werden.
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