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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Innenwinkel höchstens?

Mehrere Reihen von schwarzen Zirkeln sind gleichmäßig auf einem rosa Hintergrund in einem regelmäßigen Muster platziert und verleihen dem Bild eine geometrische Ästhetik.

Catriona Agg ist eine britische Lehrerin, die an einer Schule im Norden von Essex Mathematik unterrichtet. Seit Mitte 2018 stellt sie alle paar Tage auf X, vormals Twitter, ihren Lesern ein mathematisches Rätsel. Es stammt stets aus der ebenen Geometrie, ist mit bunten Filzstiften gezeichnet und kommt mit nur sehr wenigen Wörtern aus. Ihre Fangemeinde ist in kürzester Zeit auf viele tausend Mitglieder in der ganzen Welt gewachsen, die ihre Aufgaben bei X/Twitter diskutieren und in Schulen und Hochschulen verbreiten. 2019 veröffentlichte sie das Buch »Geometry Puzzles in felt tip« mit 85 ihrer Rätsel. Am 15. August 2018 twitterte sie folgende Aufgabe:

In dem gelben Halbkreis liegt ein oranges Dreieck, dessen Grundseite mit der Grundseite des Halbkreises zusammenfällt. Der dritte Punkt des Dreiecks liegt irgendwo auf dem Halbkreisbogen. Der rote Kreis ist der Inkreis des orangen Dreiecks. Verbindet man die Punkte, an denen der Inkreis das orange Dreieck berührt, erhält man das grüne Dreieck. Wie groß kann der untere grau markierte Innenwinkel des grünen Dreiecks höchstens sein?

Dreieck in einem Kreis in einem Dreieck in einem Halbkreis

Nach dem Satz des Thales hat das orange Dreieck ABC an der Ecke C einen rechten Winkel. Ist M der Mittelpunkt des roten Inkreises, sind die Strecken EM und FM Radien des Inkreises und stehen somit senkrecht auf dem Umfang. Folglich ist das Viereck CFME ein Quadrat, und der Mittelpunktswinkel EMF über dem Bogen EF ist 90 Grad groß. Daher hat der Umfangswinkel EDF über demselben Bogen EF eine Größe von 90 Grad / 2 = 45 Grad. Der grau markierte Winkel ist also immer 45 Grad groß, unabhängig davon, wo auf dem Halbkreisbogen der Punkt C liegt.

Dreieck in einem Kreis in einem Dreieck in einem Halbkreis

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