Ob Klimakrise, Pandemie oder nuklearer Vernichtungskrieg: Leider erscheinen einige Weltuntergangsszenarien wieder denkbarer als noch vor einigen Jahren. Neben Epidemiologen und Klimaaktivisten liefern aber auch manche Mathematiker Prognosen für das Ende der Menschheit. Das machen sie allerdings, ohne die bedrohlichen Szenarien zu analysieren, sondern stützen ihre Argumente allein auf statistischen Betrachtungen. Auf diese Weise kommen sie zu dem Schluss, dass wir Menschen mit 95-prozentiger Sicherheit höchstens weitere 17 100 Jahre den Planeten bevölkern werden, bevor wir ganz verschwinden – auf welche Weise auch immer.

Das 1983 erstmals von Brandon Carter hervorgebrachte »Doomsday-Argument«, das solche Vorhersagen liefert, basiert auf der grundlegenden Vorstellung, dass wir als Beobachter keine ausgezeichnete Stellung einnehmen – sondern einen völlig zufälligen Platz. Das ist als kopernikanisches Prinzip bekannt, benannt nach dem Astronomen Nikolaus Kopernikus, der im 16. Jahrhundert erkannte, dass die Erde nicht das Zentrum des Universums bildet. Diese Idee wird unter anderem häufig in der Kosmologie herangezogen, beispielsweise um zu argumentieren, dass unsere Umgebung (etwa unser Sonnensystem) nichts Besonderes ist, sondern im All häufiger vorkommt.

Die Überlegung, die durchaus sinnvoll klingt, kann man weiterspinnen: Angenommen, man würde auf einem Zeitstrahl (der sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft umfasst) die Anzahl aller jemals lebenden Menschen aufzeichnen. Wie wir wissen, lebten in der Vergangenheit weitaus weniger Menschen als heute, die Bevölkerung wächst – zumindest aktuell – immer weiter an. Irgendwann wird die Menschheit jedoch untergehen; sei es, weil wir uns selbst zu Grunde richten (was aktuell recht wahrscheinlich erscheint) oder weil die Sonne ihren Brennstoff verbraucht hat und die Erde verschluckt. Aber vielleicht haben wir es ja bis dahin geschafft, fremde Planeten und Galaxien zu bevölkern. Im extremsten Fall könnten wir bis zum Ende des Universums überleben.

Wenn wir der Menschheit zutrauen, das Universum zu erobern – sich also über riesige Distanzen zu verbreiten und extrem lange zu überdauern, dann wird die Anzahl aller Menschen, die jemals existiert haben, extrem hoch sein. Wenn wir uns hingegen in einigen tausend Jahren vernichten, wird sich die Zahl der Menschen, die jemals gelebt haben, vielleicht verdoppeln oder verfünffachen, aber wesentlich kleiner ausfallen als im ersten Szenario. Aber wie kann diese Information zu einer Vorhersage führen, wann die Menschheit untergehen wird?

Wir sind nichts Besonderes

Angenommen, man sei der x-te Mensch, der jemals geboren wurde. Es erscheint nur logisch, dass die Wahrscheinlichkeit, vor oder nach einer bestimmten Person das Licht der Welt erblickt zu haben, gleich verteilt ist. Nach aktuellen Schätzungen haben etwa 117 Milliarden Menschen bislang auf der Erde gelebt. Dieses Wissen kann man nun nutzen, um die Gesamtzahl N an Personen abzuschätzen, die irgendwann einmal existiert haben werden.

Stellen Sie sich vor, man zeichnet eine extrem lange gerade Linie, die von 0 bis N reicht und alle Menschen verzeichnet, die geboren wurden. Ein Punkt auf der Geraden entspricht also einer Person. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich jemand (etwa Sie oder ich) in der ersten Hälfte der Linie befindet, beträgt 50 Prozent. Ebenso hoch ist die Chance, irgendwo in der zweiten Hälfte geboren zu sein. Man kann das betrachtete Intervall vergrößern, um damit auch die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass man sich in diesem Bereich befindet: Etwa befinden wir uns mit 95-prozentiger Sicherheit in dem Gebiet, das von 0,05·N bis N reicht.

Und nun kommt die verrückte Argumentation: Wenn unsere Position x auf dem Zahlenstrahl mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit zwischen 0,05 · N und N liegt und wir den Wert von x kennen (zirka 117 Milliarden), dann kann man daraus auf die Gesamtzahl der jemals lebenden Menschen N schließen. Denn: x > 0,05N und daraus folgt 20x > N – zumindest mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent. In diesem Fall beträgt die höchstmögliche Gesamtzahl an Menschen, die jemals gelebt haben werden, 20·117 Milliarden, also 2340 Milliarden.

Jonglieren mit Wahrscheinlichkeiten

Diese Abschätzung erscheint wahrscheinlich etwas wagemutig. Mit einem recht einfachen Gedankenexperiment lässt sich die Idee besser nachvollziehen. Stellen Sie sich zwei identische Kisten vor, mit einer kleinen Öffnung im unteren Bereich. In der einen Box befinden sich zehn Tischtennisbälle, die von eins bis zehn durchnummeriert sind. In der anderen liegen hingegen 100 000 Bälle, die ebenfalls mit aufsteigenden Zahlen beschriftet sind. Sie wissen allerdings nicht, welche Kiste wie viele Bälle enthält. Nun wird aus der Öffnung einer zufällig gewählten Box ein Ball entnommen, der die Nummer 4 trägt. Was denken Sie, aus welcher Kiste er stammt?

Die meisten würden wohl auf die fast leere Kiste tippen: Denn für diese beträgt die Wahrscheinlichkeit, die 4 zu ziehen, immerhin eins zu zehn. In der anderen liegt sie hingegen bei eins zu 100 000. Ebenso verhält es sich mit der Anzahl an Menschen: Jede Person, die jemals gelebt hat, kann als Tischtennisball in einer Kiste gesehen werden. Die nahezu leere Box entspricht dem Szenario, dass es nicht allzu viele Personen geben wird und sich die Menschheit zeitnah zerstört, während die volle Kiste dem galaxieerobernden Szenario entspricht. Wenn bereits 117 Milliarden Menschen vor uns gelebt haben, erscheint es wahrscheinlicher, dass künftig ein paar weitere hundert Milliarden geboren werden und die Menschheit sich aus irgendwelchen Gründen vernichtet, als dass noch Trilliarden und Abertrilliarden Personen folgen.

Von der Apokalypse zur Berliner Mauer

Wenn die maximale Anzahl aller Menschen, die jemals gelebt haben, mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit 2340 Milliarden Menschen beträgt, kann man anhand der jährlichen Geburten abschätzen, wann unser Ende naht. In den letzten 40 Jahren kamen jedes Jahr etwa 130 Millionen Kinder zur Welt. Die Geburtenrate nimmt zwar ab, gleichzeitig steigt aber die Bevölkerungszahl. Wenn man also annimmt, dass die 130 Millionen Geburten sich nicht ändern werden, würde es noch 17 100 Jahre dauern, bis insgesamt 2340 Milliarden Menschen gelebt hätten. Selbstverständlich kann diese Zahl variieren, wenn man davon ausgeht, dass die Geburtenrate steigt oder sinkt, aber die Größenordnung bleibt in etwa bestehen.

Natürlich ist das Doomsday-Argument stark umstritten und wird von vielen Wissenschaftlern abgelehnt. Man könnte beispielsweise für das Weltuntergangsszenario nicht nur Menschen in die Betrachtung miteinbeziehen, sondern Lebewesen im Allgemeinen. Dadurch ist die Anzahl aller Organismen, die bereits gelebt haben, deutlich größer – was die mögliche Apokalypse in ferne Zukunft rückt. Ebenso kann man argumentieren, dass der Gedanke an ein Doomsday-Argument recht früh in der menschlichen Entstehungsgeschichte auftaucht, nämlich sobald wir eine gewisse Wissensschwelle überschritten haben. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns erst am Anfang der Entwicklungsgeschichte befinden, höher: Unsere Position im Zahlenstrahl ist also nicht so gleichverteilt, wie im kopernikanischen Prinzip angenommen.

Es gibt unzählige weitere Gründe, warum das Doomsday-Argument wahrscheinlich nicht korrekt ist. Dennoch ist es interessant zu sehen, wie eine solche Logik in der Vergangenheit zu richtigen Schlüssen geführt hat. So zog der theoretische Physiker John Richard Gott III das Argument heran, um auf die Bestandsdauer der Berliner Mauer zu schließen. Bei einem zufälligen Besuch der damals geteilten Stadt im Jahr 1969, als die Mauer bereits acht Jahre alt war, stellte er folgende Überlegung an: Wenn die Mauer über eine Dauer l besteht, dann hat er das Monument mit 50 prozentiger Wahrscheinlichkeit in einem Zeitraum der Länge l/2 besucht. Die acht Jahre des Bestehens könnten beispielsweise gerade einmal ein Viertel der Lebensdauer l der Mauer ausmachen, oder auch Dreiviertel davon. Damit hat man ein solches Zeitintervall von l/4 bis 3l/4 abgesteckt. Da der Zeitpunkt von Gotts Besuch mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit in dieses Intervall fällt, dann würde die Mauer noch zwischen 8·⅓ ≈ 2,7 und 8·3=24 Jahre stehen. Und damit behielt er Recht: 20 Jahre nach seinem Besuch fiel die Mauer.

Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!