Stellen Sie sich vor, Sie gehen auf einen Jahrmarkt und treffen dort auf einen Clown, der lustige Tierchen aus Luftballons formt. Plötzlich kündigt er einen Trick an, von dem Sie noch nie gehört haben: Er präsentiert einen aufgeblasenen und zugeknoteten Luftballon, dessen Innenfläche rot und dessen Außenfläche gelb ist. Er behauptet, er könne den Ballon umstülpen, also die rote Fläche nach außen bringen, ohne die Luft herauszulassen oder den Ballon zu zerreißen. Glauben Sie ihm, oder handelt es sich dabei um einen ausgeklügelten Zaubertrick?

Wenn ihm das wirklich gelingt, hat er Sie wohl belogen. Denn mit einem echten Luftballon ist das ohne Zweifel unmöglich. Die Mathematik hat dennoch ein erstaunliches Ergebnis auf Lager, das selbst einige Koryphäen der Geometrie zunächst nicht wahrhaben wollten: Angenommen, der Luftballon könnte sich selbst durchdringen, dann lässt er sich von innen nach außen stülpen, ohne zu zerreißen oder Falten zu werfen.

Wenn sich das Material selbst durchdringen kann (was im mathematischen Teilgebiet der differenzierbaren Topologie erlaubt ist), klingt das Ergebnis gar nicht so erstaunlich. Man könnte einfach die untere Kuppel des Ballons durch die obere hindurchdrücken, ziehen – fertig! Aber nein: Wenn man das tut, entsteht entlang des Äquators eine Falte, was nicht erlaubt ist. Schon stellt man fest, dass die Aufgabe gar nicht so einfach zu realisieren ist.

Tatsächlich erschien selbst Mathematikern die Vorstellung abwegig: Als Stephen Smale 1958, ein Jahr nach seiner Promotion bei dem renommierten Geometer Raoul Bott, eine Arbeit zur Umstülpung einer Kugeloberfläche veröffentlichte, glaubte sein Doktorvater zunächst an einen Fehler: Man werde schnell ein offensichtliches Gegenbeispiel zu seiner Behauptung finden. Doch seine Kollegen prüften den Aufsatz auf Herz und Nieren – und konnten keinen Fehler finden.

Smale hatte gezeigt, dass eine Methode existiert, um einen Ballon umzustülpen. Das Problem war nur: Seine Arbeit lieferte kein solches Verfahren. Tatsächlich waren seine Berechnungen so kompliziert, dass seine Kolleginnen und Kollegen das Ergebnis zwar akzeptierten, sich aber nicht vorstellen konnten, wie man die Verformungen praktisch umsetzen sollte.

Es dauerte mehrere Jahre, bis Mathematiker einen expliziten Weg fanden, eine Kugeloberfläche umzustülpen, ohne sie zu zerreißen oder zu knicken. Beteiligt daran waren Arnold S. Shapiro und Bernard Morin, der seit seinem sechsten Lebensjahr blind war (was es umso erstaunlicher macht, dass er an der ersten Visualisierung des Problems beteiligt war). Tatsächlich zeichneten die Forscher das komplizierte Verfahren Schritt für Schritt auf.

Mit der fortschreitenden Entwicklung von Computeranimationen fanden sich immer bessere Methoden, um den Vorgang zu visualisieren. Zudem entwickelten Fachleute immer einfachere Ansätze, um eine Kugeloberfläche umzustülpen. Eines der bisher anschaulichsten Verfahren fand Derek Hacon in den 1970er Jahren, das er jedoch niemals veröffentlichte. Der französische Mathematiker Arnaud Chéritat von der Université Toulouse verfeinerte dessen Idee und setzte diese als Computergrafik um.

Der Grundgedanke ist dabei, das Umstülpen eines Torus, also einer Donut-Oberfläche, als Grundlage zu nehmen und auf die Kugeloberfläche zu übertragen. Für den Fall des Torus ist der Vorgang weitaus einfacher: Man pickt zwei Stellen heraus und formt sie zu so genannten kleinschen Flaschen um. Dabei handelt es sich um interessante geometrische Gebilde, die nur aus einer Fläche bestehen: Ihre Innen- entspricht auch ihrer Außenfläche.

Um das zu bewerkstelligen, verbreitert man einen Teil des Torus und bildet einen dicken Schlauch, während man den anderen Teil schmaler gestaltet und hineinsteckt. Nun liegt also ein Teil des Torus in seinem Inneren, in Form eines Schlauchs. Das Besondere: Dieser innere Schlauch trägt die Innenfläche des Torus auf seiner Außenseite. Den inneren Schlauch dreht man deshalb nun heraus. Das ist möglich, da sich die Figur ja selbst durchdringen darf. Durch diese Verformung hat man nun bereits einen Teil der Innenfläche nach außen gedreht.

Der umgestülpte Teil ähnelt an den Grenzen zur normalen Fläche je einer kleinschen Flasche. Man kann diesen Teil nun auseinanderziehen und somit vergrößern, bis fast der ganze Torus umgestülpt ist. Am Ende ist man mit der gleichen Figur wie zuvor konfrontiert – nur dass die Innen- und Außenseiten vertauscht sind: Man hat ein ringförmige Struktur, wobei an einer Stelle eine Art Rohr herausragt, wie im vorigen Bild. Doch dieses Mal besteht das Rohr aus der Außenfläche des ursprünglichen Torus, während der Rest des Rings die Innenseite außen trägt.

Um dieses kleine Rohr loszuwerden und zurück ins Innere zu drehen, wiederholt man die Prozedur von zuvor. Man dreht das Rohr ins Innere und zieht dann den Torus glatt. Die Figur sieht wieder genauso aus wie am Anfang, allerdings ist nun die Innenfläche nach außen gedreht. Die entscheidende Bewegung beim Umstülpen ist stets das Herausdrehen des inneren Rohrs – in diesem Moment entstehen zwei kleinsche Flaschen.

Ein Torus lässt sich also problemlos umkehren. Und wie sich herausstellt, kann man die Methode auch auf eine Kugeloberfläche übertragen. Dafür drückt man zunächst die untere Kuppel ein, wodurch die Form einer Linse entsteht. Da keine Falten oder Knicke erlaubt sind, bildet der untere Rand einen halben Torus, wenn man sich die beiden Halbkugeln wegdenkt. Deshalb macht man das Gleiche wie zuvor bei der Donut-Oberfläche, wobei die Kuppeln den komplizierten Verformungen folgen.

Das Ganze wird dann extrem unübersichtlich und schwer nachvollziehbar. Doch in jedem Verformungsschritt lässt sich sicherstellen, dass die Kugeloberfläche keine Falten wirft. Und am Ende landet man bei einer Kugel, deren ursprüngliche Innenfläche nun nach außen zeigt. Man hat eine Kugel nach den Regeln der differenzierbaren Topologie umgestülpt. Mathematik hat somit das Unmögliche möglich gemacht – und damit selbst Meister des Fachs zum Staunen gebracht!