Die Poincarégruppe bzw. Poincaré-Transformation ist benannt nach dem Mathematiker Jules Henri Poincaré (1854 – 1912). Es handelt sich um eine bestimmte, mathematische Gruppe, die wesentlich ist für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Eigenschaften der Poincarégruppe

Im Gegensatz zur Lorentzgruppe ist die Poincarégruppe eine lineare, inhomogene Transformation, denn sie entspricht gerade der Lorentzgruppe erweitert um die endlichen Translationen. Dies sieht man direkt an der Transformationsvorschrift (rechts), wo ein zusätzlicher Term auftritt, der eine Verschiebung in Raum und/oder Zeit sein kann (der Vierervektor b^μ).

Vergleich von Lorentzgruppe mit Poincarégruppe

Weil die Lorentz-Transformation eine lineare, homogene Transformation ist, leuchtet unmittelbar ein, dass die Lorentzgruppe eine (eigentliche) Untergruppe der Poincarégruppe ist. Die Translationen, ebenfalls lineare Transformationen, bilden eine (invariante) Untergruppe der Poincarégruppe. So kann man schnell ableiten, dass die Poincarégruppe eine zehnparametrige Gruppe ist: Sechs Lorentzparameter, die sie von der sechsparametrigen Lorentzgruppe erhält und vier Translationsparameter, die gerade die Einträge im translatierenden Vierervektor b^μ sind.

Bezug zur Symmetrie und Physik

Die Poincarégruppe konstituiert sämtliche Transformationen, die die Minkowski-Metrik invariant lassen, also die komplette Menge ihrer Isometrien.
Die physikalische Relevanz der Poincarégruppe rührt daher, weil sie unterschiedliche, ausgezeichnete Bezugssysteme eines physikalischen Beobachters (Inertialsysteme) ineinander überführt!