diejenige Lösung Ai der Airyschen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\frac{{d}^{2}{\mathscr{w}}}{d{{\mathscr{z}}}^{2}}-{\mathscr{z}}{\mathscr{w}}=0,\end{eqnarray}

die für |𝓏| → ∞, | arg 𝓏| < π abfällt und die Normierungsbedingung \begin{eqnarray}\text{Ai}(0):=\frac{{3}^{-3/2}}{{\rm{\Gamma }}(2/3)}\end{eqnarray}

erfüllt. Als eine zweite, linear unabhängige Lösung dieser Differentialgleichung wählt man üblicherweise die Funktion \begin{eqnarray}\text{Bi}({\mathscr{z}}):={e}^{i\pi /6}\text{Ai}({\mathscr{z}}{e}^{2\pi i/3})+{e}^{-i\pi /6}\text{Ai}({\mathscr{z}}{e}^{-2\pi i/3}).\end{eqnarray}

Insbesondere sind Ai und Bi bei dieser Wahl für 𝓏 ∈ ℝ reell und ganze Funktionen von 𝓏.

Für die Anwendung in der Quantenmechanik ist entscheidend, daß Ai eine L²(ℝ)-Funktion ist und somit die physikalische Deutung als Wellenfunktion zuläßt. Die Airy-Differentialgleichung beschreibt dann hierbei den Hamilton-Operator eines Teilchens in einem konstanten elektrischen Feld.

Innermathematisch wird die Airy-Funktion zur Liouville-Green-Approximation von Lösungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Wendepunkten verwendet, die selbst wieder Anwendungen in der Physik finden.

Ebenso wie das Paar Ai, Bi bilden auch Ai (𝓏), Ai (𝓏e^2πi/3) und Ai (𝓏), Ai (𝓏e^−2πi/3) linear unabhängige Lösungen der Airyschen Differentialgleichung. Es gelten folgende zusätzliche Relationen zwischen Ai und Bi: \begin{eqnarray}\text{Ai}({\mathscr{z}}) & + & {e}^{2\pi i/3}\text{Ai}({\mathscr{z}}{e}^{2\pi i/3})\\ & & +{e}^{-2\pi i/3}\text{Ai}({\mathscr{z}}{e}^{-2\pi i/3})=0\\ \text{Bi}({\mathscr{z}}) & + & {e}^{2\pi i/3}\text{Bi}({\mathscr{z}}{e}^{2\pi i/3})\\ & & +{e}^{-2\pi i/3}\text{Bi}({\mathscr{z}}{e}^{-2\pi i/3})=0\\ \text{Ai}({\mathscr{z}}{e}^{\pm 2\pi i/3}) & = & \frac{1}{2}{e}^{\pm i\pi /3}(\text{Ai}({\mathscr{z}})\mp \text{Bi}({\mathscr{z}}))\end{eqnarray}

Es ist möglich, die Airy-Funktionen Ai und Bi durch Bessel-Funktionen und modifizierte Bessel-Funktionen gebrochener Ordnung auszudrücken. Sei dazu im folgenden ζ := 2/3 · 𝓏^2/3: \begin{eqnarray}\text{Ai}({\mathscr{z}}) & = & \frac{1}{3}\sqrt{{\mathscr{z}}}({I}_{-1/3}(\zeta )-{I}_{1/3}(\zeta ))\\ & = & \frac{1}{\Pi }\sqrt{{\mathscr{z}}/3}{K}_{1/3}(\zeta )\\ \text{Ai}(-{\mathscr{z}}) & = & \frac{1}{3}\sqrt{{\mathscr{z}}}({J}_{1/3}(\zeta )+{J}_{-1/3}(\zeta ))\\ \text{Ai}^{\prime}({\mathscr{z}}) & = & -\frac{1}{3}{\mathscr{z}}({I}_{-2/3}(\zeta )-{I}_{2/3}(\zeta ))\\ & = & -\frac{1}{\pi }\frac{{\mathscr{z}}}{\sqrt{3}}{K}_{2/3}(\zeta )\\ \text{Ai}^{\prime}(-{\mathscr{z}}) & = & -\frac{1}{3}{\mathscr{z}}({J}_{-2/3}(\zeta )-{J}_{2/3}(\zeta ))\\ \text{Bi}({\mathscr{z}}) & = & \sqrt{{\mathscr{z}}/3}({I}_{-1/3}(\zeta )+{I}_{1/3}(\zeta ))\\ \text{Bi}(-{\mathscr{z}}) & = & \sqrt{{\mathscr{z}}/3}({J}_{-1/3}(\zeta )+{J}_{1/3}(\zeta ))\\ \text{Bi}^{\prime}({\mathscr{z}}) & = & {\mathscr{z}}/\sqrt{3}({I}_{-2/3}(\zeta )+{I}_{2/3}(\zeta ))\\ \text{Bi}^{\prime}(-{\mathscr{z}}) & = & {\mathscr{z}}/\sqrt{3}({J}_{-2/3}(\zeta )+{J}_{2/3}(\zeta ))\end{eqnarray}

Ai und Bi können auch durch uneigentliche Integrale dargestellt werden, beispielsweise \begin{eqnarray}\text{Ai}(\pm {(3a)}^{-1/3}x)=\frac{{(3a)}^{1/3}}{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\cos (a{t}^{3}\pm xt)dt\end{eqnarray}

und ähnlich für Bi. Dieses Integral bezeichnet man auch als Airy-Integral, und es dient mitunter auch als Definition der Airy-Funktion.

Die folgenden asymptotischen Entwicklungen von Ai und Bi erweisen sich oft als nützlich; hierbei ist wieder wie oben ζ := 2/3 · 𝓏^3/2. \begin{eqnarray}\text{Ai}({\mathscr{z}})\sim \frac{{e}^{-\zeta }}{2{\pi }^{1/2}{{\mathscr{z}}}^{1/4}}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{u}_{s}}{{\zeta }^{s}}(|\arg {\mathscr{z}}|\le \pi )\\ \text{Ai}^{\prime}({\mathscr{z}})\sim \frac{{{\mathscr{z}}}^{1/4}{e}^{-\zeta }}{2{\pi }^{1/2}}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{\upsilon }_{s}}{{\zeta }^{s}}(|\arg {\mathscr{z}}|\le \pi )\\ \text{Ai}(-{\mathscr{z}})\sim \frac{1}{{\pi }^{1/2}{{\mathscr{z}}}^{1/4}}(\cos (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{u}_{2s}}{{\zeta }^{2s}}\\ +\sin (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }\frac{{u}_{2s+1}}{{\zeta }^{2s+1}})(|\arg {\mathscr{z}}|\le \frac{2}{3}\pi )\\ \text{Ai}^{\prime}(-{\mathscr{z}})\sim \frac{{{\mathscr{z}}}^{1/4}}{{\pi }^{1/2}}(\sin (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{\upsilon }_{2s}}{{\zeta }^{2s}}\\ -\cos (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{\upsilon }_{2s+1}}{{\zeta }^{2s+1}})(|\arg {\mathscr{z}}|\le \frac{2}{3}\pi )\\ \text{Bi}({\mathscr{z}})\sim \frac{{e}^{\zeta }}{{\pi }^{1/2}{{\mathscr{z}}}^{1/4}}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }\frac{{u}_{s}}{{\zeta }^{s}}(|\arg {\mathscr{z}}|\lt \frac{\pi }{3})\\ \text{Bi}^{\prime}({\mathscr{z}})\sim \frac{{{\mathscr{z}}}^{1/4}{e}^{\zeta }}{{\pi }^{1/2}}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }\frac{{\upsilon }_{s}}{{\zeta }^{s}}(|\arg {\mathscr{z}}|\lt \frac{\pi }{3})\\ \text{Bi}(-{\mathscr{z}})\sim \frac{1}{{\pi }^{1/2}{{\mathscr{z}}}^{1/4}}(-\sin (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{u}_{2s}}{{\zeta }^{2s}}\\ +\cos (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{u}_{2s+1}}{{\zeta }^{2s+1}})(|\arg {\mathscr{z}}|\lt \frac{2}{3}\pi )\\ \text{Bi}^{\prime}(-{\mathscr{z}})\sim \frac{{{\mathscr{z}}}^{1/4}}{{\pi }^{1/2}}(\cos (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{\upsilon }_{2s}}{{\zeta }^{2s}}\\ +\sin (\zeta -\frac{\pi }{4})\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty }{(-1)}^{s}\frac{{\upsilon }_{2s+1}}{{\zeta }^{2s+1}})(|\arg {\mathscr{z}}|\lt \frac{2}{3}\pi )\end{eqnarray}

Die Koeffizienten u_s und υ_s sind hierbei gegeben durch u₀ := 1, υ₀ := 1, sowie \begin{eqnarray}{u}_{s} & := & \frac{{\rm{\Gamma }}(3s+1/2)}{{54}^{s}s!{\rm{\Gamma }}(s+1/2)}\\ & = & \frac{(2s+1)(2s+3)(2s+5)\cdots (6s-1)}{{216}^{s}s!}\\ {\upsilon }_{s} & := & -\frac{6s+1}{6s-1}{u}_{s}\end{eqnarray}

Man beweist nun mit Hilfe dieser asymptotischen Entwicklungen die folgenden Abschätzungen; hierbei ist 𝓏 > 0: \begin{eqnarray}\text{Ai}({\mathscr{z}}) & \le & \frac{{e}^{-\zeta }}{2{\pi }^{1/2}{{\mathscr{z}}}^{1/4}}\\ \text{|Ai}^{\prime}({\mathscr{z}})| & \le & \frac{{{\mathscr{z}}}^{1/4}{e}^{-\zeta }}{2{\pi }^{1/2}}(1+\frac{7}{72\zeta }).\end{eqnarray}

Weitere Abschätzungen, auch für Bi und Bi^′, finden sich in [2].

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.