Abhängigkeit des Spektrums σ(T) eines stetigen linearen Operators auf einem Banachraum von T.

Für zwei kommutierende Operatoren S und T ist der Hausdorff-Abstand von σ(S) und σ(T) höchstens ||S-T|| ; i. allg. hängt σ(T) jedoch nicht stetig von T ab (außer im Endlichdimensionalen), da es Beispiele von Operatoren T und A mit \begin{eqnarray}\sigma(T)=\{z:\vert z\vert \leq 1\},\end{eqnarray} aber \begin{eqnarray}\sigma(T+\varepsilon A)=\{z:\vert z\vert \leq 1\}\end{eqnarray} für alle ∈ > 0 gibt. Das Spektrum kann sich also bei kleinen Störungen zusammenziehen, jedoch nicht ausdehnen, da es in folgendem Sinn halbstetig von oben ist:

Für alle offenen Mengen O ⊂ ℂ ist {S : σ(S) ⊂ O} offen in der Operatornormtopologie.

[1] Kato, T.: Perturbation Theory for Linear Operators. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1976.