Lexikon der Mathematik: hyperbolischer Fixpunkt
Fixpunkt x0 ∈ W eines C1-Vektorfeldes f : W → ℝn auf einer offenen Teilmenge W ⊂ ℝn, für den die Linearisierung (Linearisierung eines Vektorfeldes) Df (x0) von f bei x0 keine Eigenwerte mit Realteil 0 besitzt.
Ein hyperbolischer Fixpunkt verhält sich lokal wie der Fixpunkt 0 eines linearen Vektorfeldes f, dessen Eigenwerte alle Realteil ungleich 0 haben.
Die Bedeutung hyperbolischer Fixpunkte liegt darin, daß in ihrer Nähe das ursprüngliche dynamische System und das aus seiner Linearisierung entstehende dynamische System topologisch äquivalent sind (Äquivalenz von Flüssen, Hartman- Grobman-Theorem). Diese beiden dynamischen Systeme verhalten sich also qualitativ gleich, insbesondere hat ein hyperbolischer Fixpunkt eines dynamischen Systems das gleiche Stabilitätsverhalten wie der seiner Linearisierung. Daher sind hyperbolische Fixpunkte isoliert (isolierter Fixpunkt).
Sei f ∈ C2(W, ℝ2) mit einer offenen Menge 0 ∈ W ⊂ ℝ2. Falls 0 hyperbolischer Fixpunkt von f ist, gilt:
- 0 ist genau dann (in)stabiler Knotenpunkt von f, falls 0 (in)stabiler Knotenpunkt von Df (0) ist.
- 0 ist genau dann (in)stabiler Strudelpunkt von f, wenn 0 (in)stabiler Strudelpunkt von Df (0) ist.
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