Killingsches Vektorfeld, ein Vektorfeld X auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M derart, daß die Lie-Ableitung \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal L} }_{X}(g)\end{eqnarray}\) der Riemannschen Metrik g von M Null ist.

Die Lie-Ableitung \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal L} }_{X}\end{eqnarray}\) ist wie folgt definiert. Zu jedem Vektorfeld X existiert eine lokale einparametrige Gruppe ϕ_t von differenzierbaren Transformationen von M mit dϕ_t(x)/dt = X(ϕ_t(x)). Dabei ist ϕ eine Abbildung ϕ : (t, x) ∈ U ⊂ ℝ × M → ϕ_t(x) ∈ M einer offenen Umgebung U von {0} × M ⊂ ℝ × M mit ϕ₀ (x) = x für alle x ∈ M. Die Gruppeneigenschaft wird durch die Gleichung ϕ_t ∘ ϕ_s(x) = ϕ_t+s(x) ausgedrückt, die erfüllt ist, sofern die Terme auf beiden Seiten dieser Gleichung definiert sind.

Die Lie-Ableitung \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal L} }_{X}(g)\end{eqnarray}\) ist das durch \begin{eqnarray}{{\mathcal{L}}}_{X}(g)({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}})=\frac{d\,\,(g({\varphi }_{t\ast }({\mathfrak{t}}),{\varphi }_{t\ast }({\mathfrak{s}})))}{t}|{}_{t=0}\end{eqnarray} definierte symmetrische Tensorfeld, wobei \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{t}}\end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{s}}\end{eqnarray}\) Tangentialvektoren in einem Punkt x ∈ M sind und ϕ_t* die den Abbildungen ϕ_t entsprechenden Abbildungen der Tangentialvektoren. Es gilt der Satz:

X ist genau dann eine infinitesimale Isometrie, wenn die Abbildungen ϕ_t für festes t ∈ ℝ lokale Isometrien von M sind (Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten).

Die Menge aller infinitesimalen Isometrien ist eine Lie-Unteralgebra \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{i}}(M)\end{eqnarray}\) der Lie-Algebra aller Vektorfelder auf M. Überdies hat \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{i}}(M)\end{eqnarray}\) endliche Dimension d mit d ≤ n(n + 1)/2, wobei n die Dimension von M ist. Im Fall d = n(n + 1)/2 ist M ein Raum konstanter Krümmung.